Friedrich Wilhelm Schäfke

Anwendungen der Mathieuschen Funktionen und der Sphäroidfunktionen

Die Mathieusche Differentialgleichung 2.11., (1), in der Gestalt

Mathieu Functions and Spheroidal Functions and Their Mathematical Foundations

\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} + (A - B\cos \omega t)y = 0

Reihenentwicklungen analytischer Funktionen nach Biorthogonalsystemen spezieller Funktionen. II

(1) mit drei Konstanten A, B und ω ist einer einfachen physikalischen Interpretation fahig. Sie kann z. B. als Bewegungsgleichung eines Massenpunktes von einem Freiheitsgrad aufgefast werden, auf den eine zur Elongation y proportionale, im Rhythmus einer festen Frequenz ω harmonisch schwankende Kraft wirkt. Speziell fur A > |B| beschreibt sie die Bewegung eines linearen harmonischen Oszillators mit harmonisch veranderlicher Federkonstante. Diese Differentialgleichung ergibt sich auch bei vielen Problemen der Elastizitatstheorie mit harmonisch in der Zeit verlaufender auserer Einwirkung. Dieselbe Differentialgleichung beschreibt den zeitlichen Verlauf der elektrischen Ladung auf einem Kondensator in einem Stromkreis mit der konstanten Induktivitat L und der periodisch veranderlichen Kapazitat C = L −1 (A — B cos ω t)−1, wie sie naherungsweise ein Kondensatormikrophon beim Besprechen mit einem reinen Ton der Frequenz ω besitzt. Schwingungskreise mit periodisch veranderlicher Induktivitat oder periodisch veranderlichem Widerstand lassen sich ebenfalls, nach geeigneter Transformation der abhangigen Veranderlichen, naherungsweise durch die Differentialgleichung (1) beschreiben, falls die Anderungen harmonisch und ihre Amplituden klein sind.