Fritz Reutter

Implizite Differentialgleichungen und singuläre Punkte

Wir haben bei unseren vorausgehenden Untersuchungen bereits erkannt, das Differentialgleichungen erster Ordnung im allgemeinen einparametrige Losungsscharen y = f (x, c), c reell, besitzen. Dazu konnen noch zusatzliche Losungskurven kommen, die nicht in obiger Schar enthalten sind.

Die Laplace-Transformation

Sei B ein linearer Raum integrierbarer (komplexwertiger) Funktionen uber einem endlichen oder unbeschrankten Intervall (a, b) und k: ℝ → ℂ eine stuckweise stetige Funktion.

Spezielle Typen gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung

In diesem Kapitel untersuchen wir Klassen von Differentialgleichungen, die fur die Anwendungen wichtig und deren Losungen durch Integrale vorgegebener Funktionen in geschlossener Form darstellbar sind.

Differentialgleichungen höherer Ordnung

In den vorigen Kapiteln sind uns bereits Differentialgleichungen hoherer Ordnung begegnet. Wir haben fur sie einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz in Kapitel 3 bewiesen, aber kaum Moglichkeiten zur expliziten Losung besprochen, wie wir sie fur Differentialgleichungen erster Ordnung kennengelernt haben. Die Beschaftigung mit ihnen ist daher so wichtig, weil man gerade aus physikalischen und technischen Problemstellungen heraus in den meisten Fallen auf Differentialgleichungen insbesondere zweiter Ordnung gefuhrt wird.

Existenz- und Eindeutigkeitssätze und einfache numerische Verfahren

Da man schon bei einfachen Differentialgleichungen wie der von Riccati im allgemeinen keine geschlossenen Formeln fur die Losungsgesamtheit angeben kann, ist es von Interesse zu untersuchen, unter welchen Voraussetzungen uberhaupt Losungen von Differentialgleichungen existieren. Eine Antwort auf diese Fragen gab in den Jahren 1886 bis 1890 Giuseppe Peano.

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

Aus vielen Beispielen der vorhergehenden Kapitel wissen wir, das gerade in den Anwendungen aus Physik und Technik die Differentialgleichungen hoherer Ordnung eine grose Rolle spielen. Besonders ausgezeichnet sind dabei die Gleichungen zweiter Ordnung, die mit dem Newtonschen Kraftgesetz zusammenhangen, und darunter vor allem die linearen Differentialgleichungen, weil man hier eine Losungstheorie aufbauen kann.