Gabriela Schranz-Kirlinger

Wahrscheinlichkeitsräume – Modelle für stochastische Vorgänge

Mit diesem Kapitel steigen wir in die Stochastik, die Mathematik des Zufalls, ein. Herzstucke sind das Kolmogorovsche Axiomensystem sowie grundlegende Folgerungen aus diesen Axiomen wie z.B. die Formel des Ein- und Ausschliesens. Auserdem lernen wir Zufallsvariablen als Instrument zur Bundelung von Informationen uber stochastische Vorgange und naturliches Darstellungsmittel fur Ereignisse kennen. In diskreten Wahrscheinlichkeitsraumen gibt es abzahlbar viele Elementarereignisse, deren Wahrscheinlichkeiten sich zu eins aufaddieren. Als Spezialfall entstehen Laplace-Modelle, deren Behandlung Techniken der Kombinatorik erfordert. Diesbezuglich werden ausfuhrlich Permutationen und Kombinationen mit und ohne Wiederholung sowie Urnen- und Fachermodelle behandelt. Eine weitere Beispielklasse fur Wahrscheinlichkeitsraume liefern nichtnegative messbare Funktionen, deren Lebesgue-Integral gleich eins ist. In diesem Fall kann man jeder Borelschen Menge durch Integration eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Das Kapitel enthalt auch interessante historische Kontroversen uber Gleichwahrscheinlichkeit und beleuchtet der Intuition zuwider laufende Phanomene wie etwa das Paradoxon der fruhen ersten Kollision.

Mathematik – eine lebendige Wissenschaft

Mit der Analysis und der Linearen Algebra werden im ersten Studienjahr klassische Grundlagen der Mathematik gelegt. Im Hinblick auf die moderne Entwicklung dieses Fachs sind heute weitere Aspekte ebenso masgebend, die ublicherweise Gegenstand des zweiten und dritten Studienjahrs sind. Aus diesem Grund setzen wir mit dem vorliegenden Werk das im Folgenden kurz „Band 1“ genannte Lehrbuch „Grundwissen Mathematikstudium: Analysis und Lineare Algebra“ fort. Es ist bei Kenntnis der Inhalte des ersten Studienjahrs auch unabhangig vom Band 1 verstandlich und gut lesbar. Wie in jenem Band wird dabei, neben einer vollstandigen Beweisfuhrung, Wert auf Zusammenhange, Hintergrunde, Motivation und alternative Beweisideen gelegt. Damit wollen wir einen Weg weisen hin zu einem umfassenden Verstandnis von klassischen sowie numerischen und stochastischen Aspekten der Mathematik, ohne die ein wissenschaftliches Arbeiten im Fach heute nicht mehr denkbar ist.

Grundlagen der Mathematischen Statistik – vom Schätzen und Testen

Konstruieren Sie in der Situation von Aufgabe eine obere Konfidenzschranke fur ϑ zur Konfidenzwahrscheinlichkeit 1 − α.

Lineare Ausgleichsprobleme – im Mittel das Beste

In diesem Kapitel werden wir Systeme betrachten, bei denen die Zeilenzahl m groser als die Spaltenzahl n ist. Demzufolge liegen mehr Bedingungen als Freiheitsgrade vor, sodass auch im Fall linear unabhangiger Spaltenvektoren keine Losung des Problems existieren muss. Dennoch weisen derartige Aufgabenstellungen, die sich in der Literatur unter dem Begriff lineare Ausgleichsprobleme einordnen, einen grosen Anwendungsbezug auf. Der Losungsansatz im Kontext dieser Fragestellung liegt in der Betrachtung eines korrespondierenden Minimierungsproblems.

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit – Meister Zufall hängt (oft) ab

In diesem Kapitel lernen wir mit den Begriffsbildungen bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhangigkeit zwei grundlegende Konzepte der Stochastik kennen. Bedingte Wahrscheinlichkeiten dienen in Form von Ubergangswahrscheinlichkeiten insbesondere als Bausteine bei der Modellierung mehrstufiger stochastischer Vorgange uber die erste Pfadregel. Mit der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten komplizierter Ereignisse bestimmen, indem man eine Zerlegung nach sich paarweise ausschliesenden Ereignissen durchfuhrt und eine gewichtete Summe von bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die Bayes-Formel ist ein schlagkraftiges Mittel, um Wahrscheinlichkeitseinschatzungen unter dem Einfluss von zusatzlicher Information neu zu bewerten. Stochastisch unabhangige Ereignisse uben wahrscheinlichkeitsheoretisch keinerlei Einfluss aufeinander aus. Der Begriff der stochastischen Unabhangigkeit lasst sich unmittelbar auf Mengensysteme und damit auch auf Zufallsvariablen mit allgemeinen Wertebereichen ubertragen: Zufallsvariablen sind unabhangig, wenn die durch sie beschreibbaren Ereignisse unabhangig sind. Hinreichend reichhaltige Wahrscheinlichkeitsraume enthalten eine ganze Folge unabhangiger Ereignisse mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten. Markov-Ketten beschreiben stochastische Systeme, deren zukunftiges Verhalten nur vom gegenwartigen Zustand und nicht der Vergangenheit abhangt. Unter gewissen Voraussetzungen strebt die Verteilung einer Markov-Kette exponentiell schnell gegen eine eindeutig bestimmte stationare Verteilung, die das Langzeitverhalten der Markov-Kette charakterisiert.

Diskrete Verteilungsmodelle – wenn der Zufall zählt

In diesem Kapitel betrachten wir reelle Zufallsvariablen oder Zufallsvektoren, die hochstens abzahlbar viele verschiedene Werte annehmen konnen. Die zugehorigen Verteilungen sind meist mit Zahlvorgangen verknupft. So entstehen Binomialverteilung, hypergeometrische Verteilung und Polya-Verteilung bei Zahlvorgangen in unterschiedlichen Urnenmodellen. Zahlt man die Nieten vor dem Auftreten von Treffern in Bernoulli-Ketten, so ergeben sich die geometrische Verteilung und die negative Binomialverteilung, und die Multinomialverteilung tritt beim Zahlen von Treffern unterschiedlicher Art in einem verallgemeinerten Bernoullischen Versuchsschema auf. Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl eintretender Ereignisse bei spontanen Phanomenen; sie ist eine gute Approximation der Binomialverteilung bei grosem n und kleinem p. Diese Verteilungen sind grundlegend fur ein begriffliches Verstandnis vieler stochastischer Vorgange. Zugleich werden Grundbegriffe der Stochastik wie gemeinsame Verteilung, Unabhangigkeit, Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation sowie bedingte Erwartungswerte und bedingte Verteilungen in einem elementaren technischen Rahmen behandelt. Das Kapitel enthalt zudem einen Abschnitt uber erzeugende Funktionen.

Nichtlineare Gleichungen und Systeme – numerisch gelöst

In der Schule lernt man eine explizite Formel zur Losung quadratischer Gleichungen, die schon den alten Mesopotamiern etwa 1500 v. Chr. bekannt war. Der nachste Fortschritt kam allerdings erst im 16. Jahrhundert in Italien, als Nicolo Tartaglia und Gerolamo Cardano explizite Losungsformeln fur die Wurzeln einer kubischen Gleichung fanden. Kurz darauf wurden auch solche Losungsformeln fur Gleichungen vom Grad 4 gefunden, aber Polynomgleichungen vom Grad 5 widersetzten sich hartnackig. Erst 1824 gelang dem jungen Niels Henrik Abel der Beweis, dass es eine Losungsformel mit endlich vielen Wurzelausdrucken fur die allgemeine Gleichung funften Grades nicht geben kann. Die Galois-Theorie hat dann gezeigt, dass alle Polynomgleichungen ab Grad 5 im Allgemeinen nicht explizit aufgelost werden konnen. Mit anderen Worten: Schon bei der Nullstellensuche bei einem Polynom von Grad 5 sind wir auf numerische Methoden angewiesen. Allerdings wollen wir gleich hier bemerken, dass die Nullstellenberechnung von Polynomen in der Praxis im Allgemeinen keine Aufgabe fur Methoden dieses Kapitels ist, obwohl wir sie haufig als Beispiele verwenden! Die meisten Probleme zur Nullstellenbestimmung von Polynomen treten namlich bei Eigenwertproblemen auf, bei denen man charakteristische Polynome behandeln muss. Daher wendet man besser gleich numerische Methoden zur Berechnung der Eigenwerte von Matrizen an.

Differenzialformen und der allgemeine Satz von Stokes

In Kapitel 23 des ersten Bandes wurden die Grundlagen der Vektoranalysis entwickelt. Neben regularen Kurven und Flachen wurden auch die Differenzialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation (nur in ℝ3) eingefuhrt und mit dem Satz von Gaus eine erste Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differenzialund Integralrechnung (HDI) auf Vektorfelder im ℝn prasentiert.

Lineare Funktionalanalysis – Operatoren statt Matrizen

Immer wieder begegnen wir dem Phanomen, dass mathematische Fragestellungen erheblich leichter zu erfassen sind, wenn zugrunde liegende abstrakte Strukturen herauskristallisiert und somit Zusammenhange deutlicher werden. Genau aus diesem Grund sind Aspekte der linearen Funktionalanalysis in vielen Bereichen der Mathematik anzutreffen; denn sie beschaftigt sich mit den abstrakten, allgemeinen Eigenschaften linearer Abbildungen in normierten Raumen. Mithilfe der Funktionalanalysis lassen sich einerseits Kenntnisse aus der linearen Algebra in Hinblick auf normierte Raume sortieren und erweitern. Zum anderen wird mit diesem Kapitel eine Grundlage fur eine Analysis in abstrakten Vektorraumen gelegt.

Qualitative Theorie – jenseits von analytischen und mehr als numerische Lösungen

Geometrische Aspekte einer Differenzialgleichung gehen von einem Vektorfeld aus. Gesucht ist dann eine Kurve, deren Tangentialvektoren in allen Punkten mit den Richtungen des Vektorfelds ubereinstimmen. Unter qualitativer Theorie von Differenzialgleichungen versteht man das Verhalten von Losungen speziell fur lange Zeitraume. Oft kann man durch das qualitative Verhalten der Losungen von Differenzialgleichungen Aussagen uber Eigenschaften der Gleichungen treffen, ohne sie selbst explizit zu losen. Diese Betrachtungsweise geht ursprunglich auf den franzosischen Mathematiker und Physiker Henri Poincare (1854–1912) zuruck. Fragen nach dem Langzeitverhalten und der Stabilitat von Losungen spielen in der Technik und den Naturwissenschaften eine besondere Rolle.