Thomas Sonar

On Families of Pointwise Optimal Finite Volume ENO Approximations

The present work is devoted to the construction of radial functions which can serve as recovery functions in essentially nonoscillatory (ENO) approximations of hyperbolic conservation laws on unstructured grids. Conditionally positive

High Order Approximations for Compressible Fluid Dynamics on Unstructured and Cartesian Meshes

\lambda

ENO Approximations for Compressible Fluid Dynamics

-definite radial functions are shown to be pointwise optimal and therefore very well suited for use in finite volume schemes. In the present paper we develop the theory of pointwise optimality and give examples.

On the Comparison of Four Different Implementations of a Third-Order ENO Scheme of Box Type for the Computation of Compressible Flow

We describe in detail some techniques to construct high order MUSCL type schemes on general meshes : the ENO and WENO type schemes. Special attention is given to the reconstruction step. Extesio to Hamilton Jacobi equations is sketched. We also present some hybrid techniques that use simple modifications of classical TVD schemes yielding in a very clear improvements of the accuracy. We discuss means of improving the efficiency using Harten’s multiresolution analysis. We provide several numerical examples and comparisions with more conventional schemes.

Adaptive Computation of Compressible Flow Fields with the DLR-τ-Code

We describe in detail some techniques to construct high order ENO type schemes on general meshes. We also discuss means of improving the efficiency using Hartens multiresolution analysis and a parallel version of the algorithm. We provide several numerical examples and comparisons with more conventional schemes.

Finite-Volumen-Verfahren

Following ideas of Abgrall, four different implementations of a third-order ENO scheme on general triangulations are described and examined. Two implementations utilize implicit time stepping where the resulting linear systems are solved by means of a preconditioned GMRES method. Two other schemes are constructed using an explicit Adams method in time. Quadratic polynomial recovery is used to result in a formally third-order accurate space discretisation. While one class of implementations makes use of cell averages defined on boxes and thus is close in spirit to the finite volume idea, the second class of methods considered is completely node-based. In this second case the interpretation as a true finite volume recovery is completely lost but the recovery process is much simpler and cheaper than the original one. Although one would expect a consistency error in the finite difference type implementations no such problem ever occurred in the numerical experiments.

Globale radiale Funktionen

The DLR-τ-Code is the implementation of a finite volume method for the numerical solution of compressible Navier-Stokes equations. The code uses TVD- or ENO-recovery procedures to achieve high resolution properties and works on control volumes dual to a triangulation. Mesh refinement and coarsening is done automatically according to residual based refinement indicators in order to use the full flexibility as provided by an approach based on triangular meshes. The choice of refinement indicators as well as their behaviour in boundary layers are still research topics.

Bedingt positiv A-definite Funktionen

Wir betrachten hyperbolische Erhaitungsgieichungen (1.1) in einem beschrankten Gebiet Ω ⊂ R2 Zur Vereinfachung wird angenommen, das der Rand ∂Ω := \( \overline \Omega \)\Ω stets polygonal ist. Auf der Menge \( \overline \Omega \) fuhren wir zwei Zerlegungen ein.

Adaptive Computation of Compressible Fluid Flow

Mit der Klasse der bedingt positiv A-definiten Funktionen haben wir im letzten Kapitel optimale Rekonstruktionen in gewissen Semi-Hilbert-Raumen C φ identifiziert. Wahrend die Theorie fur die Rekonstruktion von (im Sinne von u: R2 → R) global definierten Funktionen auserordentlich attraktiv ist, treten in der Praxis der Rekonstruktion doch Probleme auf. In den uns interessierenden Fallen suchen wir Rekonstruktionen, die durch extrem lokale Daten (Zellmittel auf wenigen Kontrollvolumina) definiert sind. Daraus erhalten wir mit den globalen radialen Funktionen Rekonstruktionen auf dem gesamten R2, die dann (kunstlich) auf eine Zelle eingeschrankt werden. Folge dieser Prozedur sind heftig oszillierende Rekonstruktionen (wie im Fall des Plattensplines) oder unbefriedigende lokale Approximationseigenschaften. Es ware daher gerade fur den Rekonstruktionsfall wichtig, uber Rekonstruktionsfunktionen mit kompaktem Trager zu verfugen. Fur die Interpolation gelang Wendland und Schaback ([156], [123]) nach Vorarbeiten von Iske [71] der Durchbruch in Form der Konstruktion des Euklidischen Hutes. Wir adoptieren den Hut fur unser Rekonstruktionsproblem und zeigen seine Optimalitat.

The Resolution of Compressible Flow Fields by Adaptive Finite Volume Methods

Die Theorie der Splines stellte einen eleganten Zugang zur optimalen Rekonstruktion von Punktwerten einer Funktion aus gegebenen Zellmitteln im Beppo-Levi-Raum dar. Bezugnehmend auf die trivial erscheinende Bemerkung 5.2 kann man nach weiteren Raumen radialer Funktionen fragen, in denen sich Splines identifizieren lassen. Eine Interpolationstheorie in solchen Raumen existiert tatsachlich fur eine grosere Klasse von Semi-Hilbert- Raumen mit reproduzierendem Kern und wurde im wesentlichen von Madych und Nelson ([89], [90]) entwickelt. Indem wir diese Theorie fur das Rekonstruktionsproblem verallgemeinern, folgen wir auf einer parallelen Bahn der historischen approximationstheoretischen Entwicklung von der Interpolationstheorie der Plattensplines zu allgemeinen radialen Funktionen.