Geheimer Hofrat Prof. Dr. Robert Fricke

Zweites Kapitel. Systeme ganzer elliptischer Funktionen dritter Art n ter Stufe

Wendet man die Transformation n ten Grades auf die von den Perioden ω 1, ω 2 allein abhangenden Modulfunktionen und Modulformen an, so entstehen Grosen, die mit den ursprunglichen Funktionen bzw. Formen wieder algebraisch zusammenhangen. Diese algebraischen Relationen nennen wir „spezielle Transformationsgleichungen“. Sie entsprechen den speziellen Teilungsgleichungen und sind, wie schon gelegentlich bemerkt wurde, im allgemeinen, d. h. von einigen besonderen Transformationsgraden abgesehen, die Resolventen niedersten Grades der speziellen Teilungsgleichungen. Wegen der beziehungsreichen und ausgedehnten Theorie dieser speziellen Transformationsgleichungen erscheint es zweckmasig, die Betrachtung zunachst auf die Transformation der Funktionen erster Stufe J(ω), g 2(ω 1,ω 2), g 3(ω 1,ω 2) und Δ(ω 1,ω 2) einzuschranken; nur sollen zugleich auch die Wurzeln der Diskriminante Δ, soweit sie eindeutige Modulformen liefern, zugelassen werden.

Zweites Kapitel. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe und die durch dasselbe vermittelten Abbildungen

Unter den elliptischen Integralen der vorgelegten Riemannschen Flache F 2 nahm das Integral erster Gattung u insofern eine besondere Stellung ein, als es bis auf eine multiplikative und eine additive Konstante eindeutig bestimmt war. Die dieserhalb einzigartige Funktion u der F 2 wird nun alsbald in den Mittelpunkt unserer Beobachtungen treten; ihr hervorragender Wert beruht auf der Einfachheit und Ubersichtlichkeit der konformen Abbildung, welche sie von der F 2 vermittelt. Mit dieser besonderen Funktion u werden wir uns demnach zunachst ausfuhrlicher zu beschaftigen haben.

Vermischte geometrische Anwendungen

In einer Ebene seien zwei Ellipsen gegeben, von denen die eine ganz innerhalb der anderen liegt. Von einem Punkte P 0 der ausseren Ellipse ziehe man in der Richtung, die den positiven Umlauf um die innere Ellipse (im ublichen Sinne gedacht) einleitet, die Tangente an die innere Ellipse bis zum Punkte P 1 der ausseren Ellipse. Von P 1 aus ziehe man die weitere die innere Ellipse beruhrende Sehne P 1 P 2 der ausseren Ellipse und fahre in gleicher Weise fort. Wir leiten zunachst mit Hilfe elliptischer Funktionen ein Kriterium dafur her, das diese Konstruktion ein geschlossenes Polygon liefert. Weitere geometrische Anwendungen sind die Bestimmung der geodatischen Linien auf einem Umdrehungsellipsoid und die Beziehung zwischen spharischen Dreiecken und dem Additionstheorem der elliptischen Funktionen.

Zweites Kapitel. Die Multiplikationssätze der elliptischen Funktionen

Die Multiplikationssatze der elliptischen Funktionen betreffen die Beziehungen, die zwischen einer Funktion mit n-fachem Argumente nu und der gleichen, fur einfaches Argument u gebildeten Funktion bestehen; n ist dabei als ganze positive Zahl vorausgesetzt. Man kann diese Satze aus den Additionsformeln fur n-gliedrige Argumentsummen durch Gleichsetzung aller n Summanden entwickeln; doch fuhrt eine direkte Behandlung leichter zum Ziele. Literarische Notizen uber die Multiplikationssatze findet man in „Enzyklopadie“, S. 302ff.; die altere Theorie betreffend vgl. man auch „Enneper-Muller“, S. 368ff.

Zweiter Abschnitt. Die Transformationstheorie der elliptischen Funktionen. Erstes Kapitel. Die Transformation n ten Grades und die allgemeinen Transformationsgleichungen

Die Grundaufgabe der Transformationstheorie tritt bereits bei Euler und Lagrange, und zwar bei Behandlung gewisser mechanischer Aufgaben, auf. Es handelt sich in der Sprechweise der elliptischen Funktionen um die Frage, ob ein elliptisches Differential, das z als Variable hat, in ein anderes elliptisches Differential mit z′ als Variable dadurch transformiert werden kann, das man zwischen z und z′ eine algebraische Relation vorschreibt. Es ist dies die algebraische Fassung des Transformationsproblems, wahrend sich die transzendente Gestalt, wie sogleich in §1 ausgefuhrt wird, an den Begriff der doppeltperiodischen Funktion anschliest. Diese transzendente Gestalt bahnt in einfachster Weise die allgemeine Losung des Problems an. In den grundlegenden Untersuchungen von Abel und Jacobi kommen naturlich beide Seiten des Problems zur Geltung, und zwar die algebraische vornehmlich im „Precis d’une theorie des fonctions elliptiques“ und im ersten Teile der „Fundamenta nova“, die transzendente in den „Recherches sur les fonctions elliptiques“ (vgl. die erste Note S. 209) und den spateren Entwicklungen der „Fundamenta nova“. In neuerer Zeit pflegt man das Transformationsproblem in transzendenter Gestalt anzusetzen und die algebraische Fassung nur mehr beilaufig zu erwahnen. In dieser Art soll auch hier verfahren werden.

Drittes Kapitel. Die Divisionssätze der elliptischen Funktionen

Die Divisionssatze der elliptischen Funktionen sind von Abel entdeckt und zum ersten Male in den „Recherches sur les fonctions elliptiques“ Art. 14ff. dargestellt. Die Erkenntnis Abels, das die allgemeinen Teilungsgleichungen durch Wurzelziehungen losbar sind, durfte fur seine allgemeinen Untersuchungen uber algebraisch losbare Gleichungen von wesentlichem Einflus gewesen sein. Bei dem Interesse, das die Teilungsgleichungen als Beispiele fur die Galoissche Gleichungstheorie darbieten, kommen die Divisionssatze ausfuhrlicher in denjenigen Darstellungen zur Geltung, bei denen algebraische Fragen im Vordergrunde stehen. So widmet C. Jordan in seinem bekannten Werke ein besonderes Kapitel den Gruppen der Teilungsgleichungen, und zwar sowohl der hier zunachst zu behandelnden „allgemeinen“ Teilungsgleichungen, wie der im nachsten Kapitel zur Sprache kommenden „speziellen“ Teilungsgleichungen. Besonders ausfuhrlich behandelt H. Weber die algebraische Seite der Divisionssatze in seinem Buche „Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen“. Uber die wirkliche Durchfuhrung des Losungsprozesses der allgemeinen Teilungsgleichung vgl. man L. Kiepert, „Auflosung der Transformationsgleichung und Division der elliptischen Funktionen“.

Einleitung. Zusammenstellung von Sätzen aus der Algebra und Zahlentheorie

Die Behandlung der Divisionssatze der elliptischen Funktionen und der Transformationstheorie dieser Funktionen setzt eine etwas tiefere Kenntnis der Algebra und Zahlentheorie voraus. In einer in funf Teile zerlegten Einleitung werden zunachst die zur Verwendung kommenden Satze aus den beiden genannten Gebieten entwickelt.

Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

Der Transformation n ten Grades der elliptischen Funktionen legen wir die durch β≡0 (mod n) erklarte Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe zugrunde. Diese Gruppe wird zur sog. Klassengruppe erweitert, die in enger Beziehung zu den ganzzahligen positiv definiten binaren quadratischen Formen steht. Anschliesend entwickeln wir Methoden zur Berechnung von Klasseninvarianten und zeigen an zahlreichen numerischen Beispielen die Effektivitat dieser Methoden.

Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

Das Problem der Multiplikation der elliptischen Funktionen last sich noch allgemeiner behandeln, als es fruher geschehen ist: Wir ermitteln, fur welche reellen oder komplexen Multiplikatoren μ die Funktion ℘(μu) eine rationale Funktion von ℘(u) ist. – Ferner untersuchen wir die Klasseninvarianten j(ω), die ganzzahligen positiv definiten binaren quadratischen Formen entsprechen, und die zugehorige Klassengleichung. Wesentliches Ziel ist der Beweis einer Behauptung von Abel, der zufolge sich die Nullstellen der Klassengleichung (d. h. die Klasseninvarianten) durch eine Kette von Wurzelziehungen bestimmen lassen.

Drittes Kapitel. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

Das Hauptergebnis des vorigen Kapitels war die Abbildung des Feldes F ∞ der Funktion u z,∞ auf die schlicht und vollstandig bedeckte endliche u-Ebene. Wir wollen jetzt im vollen Umfange die Folgerungen ziehen, welche aus dieser Tatsache fur den Korper der algebraischen Funktionen und die Integrale der F 2 sich ergeben. Hierbei ist weiter von grundsatzlicher Bedeutung, das die ubereinanderliegenden Exemplare der F 2 im Felde F ∞ beim Ubergange zur u-Ebene die nebeneinandergeordneten Parallelogramme im Netze der Periodenparallelogramme werden, wobei die homologen Punkte dieser Parallelogramme oder, wie wir sagten, die „aquivalenten“ Punkte im Parallelogrammnetze ein und dieselbe Stelle z der F 2 lieferten. Wird sich aus der Schlichtheit des fraglichen Abbildes die „Eindeutigkeit“ der elliptischen Funktionen ergeben, so folgt aus der Eigenart des Abbildes als Netz der Periodenparallelogramme als weitere grundlegende Eigenschaft der elliptischen Funktionen diejenige der „doppelten Periodizitat“.