Clemens Adelmann

Interpolation of functions related to the integer factoring problem

The security of the RSA public key cryptosystem depends on the intractability of the integer factoring problem. This paper shall give some theoretical support to the assumption of hardness of this number theoretic problem. We obtain lower bounds on degree, weight, and additive complexity of polynomials interpolating functions related to the integer factoring problem, including Eulers totient function, the divisor sum functions, Carmichaels function, and the RSA-function. These investigations are motivated by earlier results of the same flavour on the interpolation of discrete logarithm and Diffie-Hellman mapping.

Letters from William Burnside to Robert Fricke: automorphic functions, and the emergence of the Burnside Problem

Two letters from William Burnside have recently been found in the Nachlass of Robert Fricke that contain instances of the Burnside Problem prior to its first publication. We present these letters as a whole to the public for the first time. We draw a picture of these two mathematicians and describe their activities leading to their correspondence. We thus gain an insight into their respective motivations, reactions, and attitudes, which may sharpen the current understanding of professional and social interactions of the mathematical community at the turn of the twentieth century.

Vermischte arithmetische Anwendungen

Zunachst zeigen wir nach dem Vorbild von Jacobi, wie sich die Darstellungsanzahlen einiger ganzzahliger quaternarer quadratischer Formen in einfacher Weise durch Teilersummen ausdrucken lassen. Als weitere arithmetische Anwendungen bestimmen wir die Klassenzahlrelationen erster Stufe und die Kroneckersche Grenzformel.

Vermischte geometrische Anwendungen

In einer Ebene seien zwei Ellipsen gegeben, von denen die eine ganz innerhalb der anderen liegt. Von einem Punkte P 0 der ausseren Ellipse ziehe man in der Richtung, die den positiven Umlauf um die innere Ellipse (im ublichen Sinne gedacht) einleitet, die Tangente an die innere Ellipse bis zum Punkte P 1 der ausseren Ellipse. Von P 1 aus ziehe man die weitere die innere Ellipse beruhrende Sehne P 1 P 2 der ausseren Ellipse und fahre in gleicher Weise fort. Wir leiten zunachst mit Hilfe elliptischer Funktionen ein Kriterium dafur her, das diese Konstruktion ein geschlossenes Polygon liefert. Weitere geometrische Anwendungen sind die Bestimmung der geodatischen Linien auf einem Umdrehungsellipsoid und die Beziehung zwischen spharischen Dreiecken und dem Additionstheorem der elliptischen Funktionen.

Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

Fur die Verwendung der elliptischen Funktionen zur Untersuchung ebener Bewegungen liefert das ebene Gelenkviereck ein besonders leicht zugangliches und mehrfach betrachtetes Beispiel. Die Moglichkeit eine analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks mit Hilfe von elliptischen Funktionen durchzufuhren, erkannte G. Darboux und stellte hierfur die grundlegenden analytischen Entwicklungen unter Benutzung der Jacobischen Funktionen auf. Dass man an Stelle der Jacobischen Funktionen auch die Weierstrassschen Funktionen ℘(u), ℘′(u) benutzen kann, ist selbstverstandlich. Einige Ausfuhrungen hieruber hat Picciati gegeben; doch dringen dieselben nicht ein, da sie sich bei der Einfuhrung eines gewissen kanonischen Koordinatensystems auf allgemeine, algebraisch nicht durchgefuhrte Ansatze beschranken. Eine neue Behandlung der Darbouxschen Formeln hat M. Krause geliefert, der auch eine Reihe wertvoller Dissertationen uber diese Gegenstande angeregt hat.

Einleitung. Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Fur die Losung von Aufgaben mittels elliptischer Funktionen, die bis zur Gewinnung von numerischen Endergebnissen getrieben werden mussen, werden hier zunachst einleitend Regeln und Methoden zur numerischen Berechnung der in der Theorie der elliptischen Funktionen auftretenden Grossen zusammengestellt.

Ebene Kurven dritten Grades und elliptische Funktionen

Die Beziehung zwischen den singularitatenfreien ebenen Kurven dritten Grades und den elliptischen Funktionen ist begrundet durch eine Untersuchung von S. Aronhold und ausgefuhrt in der Abhandlung von A. Clebsch „Uber einen Satz von Steiner und einige Punkte der Theorie der Kurven dritter Ordnung“. Diese Beziehung ermoglicht es, mit Leichtigkeit eine grosse Reihe von Satzen uber die genannten Kurven zu gewinnen. Als ein erstes Ergebnis der Beziehung der singularitatenfreien Kurven dritten Grades zu den elliptischen Funktionen gewinnen wir eine sehr ubersichtliche Theorie der neun Wendepunkte dieser Kurven. Ferner bestimmen wir kanonische Koordinatensysteme und verschiedene Gruppen von Kollineationen dieser Kurven.

Bogen- und Flächenberechnungen

Die Aufgaben der Bogenberechnungen ebener Kurven gaben bald nach der Erfindung der Differentialrechnung den Anlas zur Aufstellung und Untersuchung von Integralen, die heute als „elliptische“ bezeichnet werden. Sehr erfolgreich ist in dieser Hinsicht der italienische Gelehrte Fagnano gewesen, der sich seit 1714 mit der Rektifikation verschiedener ebener Kurven, besonders ausfuhrlich mit derjenigen der Lemniskate beschaftigt hat und als Vorlaufer von Gaus die Moglichkeit erkannte, die Lemniskate mit Zirkel und Lineal in gewisse Anzahlen gleich langer Bogenstucke zu zerlegen. Dieser Gegenstand wird hier zuerst behandelt, weil er zu dem elliptischen Integrale erster Gattung im harmonischen Falle fuhrt, der deshalb auch als der lemniskatische bezeichnet wird. Elliptische Integrale erster und zweiter Gattung stellen sich bei der Berechnung von Bogenlangen eine Reihe weiterer ebener Kurven ein, insbesondere bei der Ellipse und der Hyperbel. Als Beispiel einer Komplanation mittels elliptischer Integrale bestimmen wir die Oberflache eines Ellipsoids.

Transformation der elliptischen Funktionen und Berechnung der Klasseninvarianten

Der Transformation n ten Grades der elliptischen Funktionen legen wir die durch β≡0 (mod n) erklarte Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe zugrunde. Diese Gruppe wird zur sog. Klassengruppe erweitert, die in enger Beziehung zu den ganzzahligen positiv definiten binaren quadratischen Formen steht. Anschliesend entwickeln wir Methoden zur Berechnung von Klasseninvarianten und zeigen an zahlreichen numerischen Beispielen die Effektivitat dieser Methoden.

Komplexe Multiplikation und Klassengleichungen

Das Problem der Multiplikation der elliptischen Funktionen last sich noch allgemeiner behandeln, als es fruher geschehen ist: Wir ermitteln, fur welche reellen oder komplexen Multiplikatoren μ die Funktion ℘(μu) eine rationale Funktion von ℘(u) ist. – Ferner untersuchen wir die Klasseninvarianten j(ω), die ganzzahligen positiv definiten binaren quadratischen Formen entsprechen, und die zugehorige Klassengleichung. Wesentliches Ziel ist der Beweis einer Behauptung von Abel, der zufolge sich die Nullstellen der Klassengleichung (d. h. die Klasseninvarianten) durch eine Kette von Wurzelziehungen bestimmen lassen.