Gérard Laumon

Quelques résultats de structure locale

Thereme (6.1). — Soit ℋ un S-champ algebrique. Les conditions (i) et (ii_ ci-dessours sont equivalentes: (i) il existe un entier d ≥ 1, un espace algebrique (resp. un schema, resp. un schema affine) X et un 1-morphisme π: X → ℋ, fini etale de degre d; (ii) ℋ est 1-isomorphe a un S-champ de la forme [X’/G/S], ou X’ est un espace algebrique (resp. un schema, resp. un schema affine) et G un groupe fini operant sur X’.

Caractérisation des espaces algébriques et des champs de Deligne-Mumford

Theoreme (8.1) — Soit ℋ un S-champ algebrique, et soit Δ : ℋ → ℋ xSℋ le 1-morphisme diagonal. Pour que ℋ soit un S-champ de Deligne-Mumford, il faut et il suffit que Δ soit non ramifie.

La 2-catégorie des S-groupoïdes

Rappelons qu’un groupoide est une categorie dont toutes les fleches sont des isomorphismes.

La catégorie des S-espaces et sa sous-catégorie strictement pleine des S-espaces algébriques

On fixe un schema de base S. On notera (Aff/S) la categorie des schemas affines munis d’un morphisme de schemas dans S. Remarquer que cette categorie n’a pas en general d’objet final (sauf si S est affine) ni de produits (sauf si S est separe) mais qu’elle admet des produits fibres.

Les critères d’Artin pour qu’un S -champ soit algébrique

Le thereme suivant, du a Artin ([Ar 6] 6.1), assure que la definition (4.1) des S-champs algebriques (quasi-separes) est essentiellement la plus generale possible.

La 2-catégorie des S-champs dans algébriques

Definition (4.1). — Un S-champ sur algebrique (sous-entendu quasi-separe) est un S-champ ℋ qui satisfait aux deux axiomes suivants: (i) le 1-morphisme de S-champs diagonal

Faisceaux sur le site lisse-étale d’un S-champ algébrique

H\xrightarrow{\Delta }H{x_s}H

Parenthèse sur les topologies plates

est representable, separe et quasi-compact, (ii) il existe un S-espace algebrique X et un 1-morphisme de S-champs