Laurent Moret-Bailly

Elliptic curves and Hilbert's tenth problem for algebraic function fields over real and p-adic fields

Abstract Let k be a field of characteristic zero, V  a smooth, positive-dimensional, quasiprojective variety over k, and Q  a nonempty divisor on V. Let K  be the function field of V, and A ⊂ K  the semilocal ring of Q. We prove the Diophantine undecidability of: (1) A, in all cases; (2) K, when k  is real and V   has a real point; (3) K, when k  is a subfield of a p -adic field, for some odd prime p. To achieve this, we use Denef’s method: from an elliptic curve E  over ℚ, without complex multiplication, one constructs a quadratic twist ℰ of E over ℚ(t ), which has Mordell-Weil rank one. Most of the paper is devoted to proving (using a theorem of R. Noot) that one can choose ƒ in K, vanishing at Q, such that the group ℰ(K ) deduced from the field extension ℚ(t ) →̃ ℚ(ƒ ) ↪ K  is equal to ℰ(ℚ(t )). Then we mimic the arguments of Denef (for the real case) and of Kim and Roush (for the p -adic case).

An extension of Greenberg’s theorem to general valuation rings

We extend Greenberg’s strong approximation theorem to schemes of finite presentation over valuation rings with arbitrary value group. As an application, we prove a closed image theorem (in the strong topology on rational points) for proper morphisms of varieties over valued fields.

Fibrés principaux sur les corps valués henséliens

Let K be the field of fractions of a henselian valuation ring A. Assume that the completion b K is a separable extension of K. Let Y be a K-variety, let G be an algebraic group over K, and let f : X! Y be a G-torsor over Y . We consider the induced map X(K)! Y (K), which is continuous for the topologies deduced from the valuation. If I denotes the image of this map, we prove that I is locally closed in Y (K); moreover, the induced surjection X(K)! I is a principal bundle with group G(K) (also topologized by the valuation).

Points Entiers des Variétés Arithmétiques

1.1. En 1934, Skolem [5] a etudie la question suivante: si Q∈R[X1,...,Xm] est un polyelme a coefficients dans un anneau R d’entiers algebriques, peut-on trouver des entiers algebriques x1, ... , xm tels que Q(xl,...,xm) soit un entier algebrique inversible ?

Sur la R-équivalence de torseurs sous un groupe fini

Abstract We give criteria for R-equivalence of torsors under finite constant group schemes over a field. In particular, using bitorsors, we obtain a Galois devissage result which formalises and generalises a theorem of Philippe Gille in the case of local fields; for instance, Gilles theorem is shown to extend to higher local fields.

Quelques résultats de structure locale

Thereme (6.1). — Soit ℋ un S-champ algebrique. Les conditions (i) et (ii_ ci-dessours sont equivalentes: (i) il existe un entier d ≥ 1, un espace algebrique (resp. un schema, resp. un schema affine) X et un 1-morphisme π: X → ℋ, fini etale de degre d; (ii) ℋ est 1-isomorphe a un S-champ de la forme [X’/G/S], ou X’ est un espace algebrique (resp. un schema, resp. un schema affine) et G un groupe fini operant sur X’.

Caractérisation des espaces algébriques et des champs de Deligne-Mumford

Theoreme (8.1) — Soit ℋ un S-champ algebrique, et soit Δ : ℋ → ℋ xSℋ le 1-morphisme diagonal. Pour que ℋ soit un S-champ de Deligne-Mumford, il faut et il suffit que Δ soit non ramifie.

La 2-catégorie des S-groupoïdes

Rappelons qu’un groupoide est une categorie dont toutes les fleches sont des isomorphismes.

La catégorie des S-espaces et sa sous-catégorie strictement pleine des S-espaces algébriques

On fixe un schema de base S. On notera (Aff/S) la categorie des schemas affines munis d’un morphisme de schemas dans S. Remarquer que cette categorie n’a pas en general d’objet final (sauf si S est affine) ni de produits (sauf si S est separe) mais qu’elle admet des produits fibres.

Les critères d’Artin pour qu’un S -champ soit algébrique

Le thereme suivant, du a Artin ([Ar 6] 6.1), assure que la definition (4.1) des S-champs algebriques (quasi-separes) est essentiellement la plus generale possible.