Günther Frei

Fundamental systems of units in biquadratic parametric number fields

Abstract Let D, d be integers with D > 0, d dividing D and d square free and let α and β be the two roots of the quadratic equation x2 − Dx −d = 0. Suppose (α − β)2 = D2 + 4d > 1 and α2 + β2 = D2 + 2d be square free. Introduce e = (ω + α) β and u = (ω + β) α , where ω = a 2 + β 2 . Then it is proved that e, u and θ form a fundamental system of units in the field Q D 2 + 4d , D 2 + 2d , where θ= α β if d ≠ ± 1 and (D,d) ≠ (5,−5) θ= α β = 1+ 5 2 if (D,d)=(5,−5) θ=α if d = ± 1 and (D,d) ≠ (3,−1) θ= α= 1+ 5 2 if (D,d)=(3,−1)

Pawel Sergejewitsch Alexandroff, 1896- 1982

wohl nicht liegen. Es ist ein ausgesprochenes Ärgernis, was wohl auch gelegentliche Absagen aus den alten Ländern erklärt. Hier sollte die Polit ik doch einmal über ihren Schatten springen. Gut funktionierende GKs könnten geradezu Musterbeispiele für das Zusammenwachsen von West und Ost sein. Da sollten sich derartige Kleinstlichkeiten verbieten. Manchmal Pawel Sergejewitsch Alexandroff, 18961982

Die Mathematiker an der Universität Zürich

Die Universitat Zurich ist 1833 aus dem sogenannten Carolinum hervorgegangen, einer vom Reformator Ulrich Zwingli im Jahre 1523 geschaffenen theologischen Akademie, die ihrerseits auf eine noch altere zum Grossmunster gehorige Domherrenschule zuruckgeht. Das Carolinum war mit funf Lehrstuhlen dotiert, wobei der Inhaber des funften, des Lehrstuhles fur Physik, neben dem Unterricht der Naturwissenschaften auch fur die Mathematik verantwortlich war. Dieser Lehrstuhl war durch eine Reihe bedeutender Naturwissenschafter vertreten gewesen. Dazu gehorten der bekannte Arzt und Naturforscher Konrad Gessner (1516–1565), sein Schuler Josias Simmler (1530–1576), Johann Jakob Scheuchzer (1672–1733), sein Schuler Johannes Gessner (1709–1790) und Johann Kaspar Horner (1774–1834). Letzterer kann als erster eigentlicher Mathematiker bezeichnet werden. Er hatte in Gottingen bei Kastner, Lichtenberg, Blumenbach und Seiffert Mathematik und Astronomie studiert und dann in Jena 1799 den Doktortitel erworben. Fur die Entwicklung der Mathematik in Zurich war Horner von grosster Bedeutung, insbesondere durch seinen Einfluss als Mitglied des Erziehungsrates und des kleinen Rates auf die Neugestaltung des zurcherischen Unterrichtswesens. Mit den Berufungen von Eschmann, Graeffe, Mousson und Raabe an die 1833 neu gegrundete Kantonsschule (Gymnasium) hat er den Grundstein fur die spatere Entfaltung der Mathematik an der Universitat gelegt.

Die Mathematiker an der ETH Zürich

Die Grundung der Eidgenossischen Polytechnischen Schule, der heutigen ETH, um die Mitte des letzten Jahrhunderts fand vor dem Hintergrund einer raschen Industrialisierung der Schweiz statt. Diese betraf zuerst vor allem die Nord- und Ostschweiz, wo schon langere Zeit die Textilindustrie beheimatet war. Dieser Industriezweig durchlief ab etwa 1800 eine intensive Phase der Mechanisierung, und der Bau der komplizierten Textilmaschinen verlangte nach innovativen und leistungsfahigen Maschinenfabriken. Einige der in dieser Zeitspanne gegrundeten Maschinenbau-Unternehmen errangen spater Weltgeltung: Rieter & Co. wurde 1795 als Baumwollspinnerei gegrundet, 1805 erfolgte die Grundung der Maschinenfabrik Escher, Wyss & Co. und 1834 die der Maschinenfabrik der Gebruder Sulzer. Im Zuge der Industrialisierung nahmen auch die Transportbedurfnisse stark zu, was einen raschen Ausbau der Verkehrswege, insbesondere der Bahnverbindungen notwendigmachte. Die erste Bahnstrecke der Schweiz, die «Spanisch-Brotli Bahn» zwischen Zurich und Baden wurde 1847 eroffnet. Im Vergleich zum ubrigen Europa war das zwar relativ spat, aber der Ausbau schritt dann ausserordentlich rasch voran, so dass bis 1862 das Bahnnetz in der Schweiz eine Lange von 1000 km aufwies und sozusagen alle grosseren Schweizer Stadte nordlich der Alpen untereinander verband.

Der erste Internationale Mathematiker-Kongress, 1897

Der «erste» Internationale Mathematiker-Kongress hat nach allgemeiner Auffassung einen (oder sogar mehrere) Vorlaufer. So fand aus Anlass der 400-Jahr-Feier der Entdeckung Amerikas durch Kolumbus in Chicago die «World’s Columbian Exposition» statt, in deren Rahmen auch ein «world congress of mathematicians and astronomers» organisiert wurde. Unter den wenigen aus Europa hergereisten Teilnehmern befand sich Felix Klein. Ihm fiel die Ehre zu, den Eroffnungsvortrag zu halten. Darin rief er unter anderem die Mathematiker dazu auf, sich international zusammenzuschliessen, und regte zu diesem Zweck die Organisation internationaler Mathematiker-Kongresse an.

Internationaler Mathematiker-Kongress 1932

Auch fur die Geschichte der Internationalen Mathematiker-Kongresse bildet der Erste Weltkrieg eine tiefe Zasur. Als ware der Kriegsschaden nicht genug gewesen, setzten die aufgestachelten Emotionen nach Kriegsende das Zerstorungswerk fort. So wurde von den Franzosen im nun franzosisch gewordenen Strassburg mit zweifelhafter Legitimation 1920 ein Internationaler Mathematiker-Kongress durchgefuhrt, an dem teilzunehmen den deutschen Mathematikern verwehrt wurde. Auch zum darauffolgenden Kongress, der 1924 in Toronto stattfand, wurden die deutschen Mathematiker nicht zugelassen. Erst fur Bologna 1928 konnte man sich wieder dazu durchringen, die volle Internationalitat anzustreben. Dass dieser Richtungswechsel nicht mit letzter Klarheit vollzogen wurde, verargerte nun wiederum einen Teil der deutschen Mathematiker, zu deren Wortfuhrer sich Ludwig Bieberbach machte. Bieberbach setzte sich vehement dafur ein, dass den an deutschen Schulen tatigen Mathematikern die Teilnahme am Kongress in Bologna verboten werde. Hilbert wandte sich gegen diese Einstellung. Schliesslich nahm trotz dieses mit scharfen Worten ausgetragenen Meinungskampfes eine Gruppe von rund 60 deutschen Mathematikern am Kongress teil.

Aufenthalt in Princeton (1928/29)

Zu Anfang 1928 erhielt Weyl durch Oswald Veblen (1880–1960) ein neues interessantes Angebot von der Universitat in Princeton, woruber wir einiges aus einem Briefe von Veblen an Weyl vom 25. Januar 1928 erfahren.

Weggang von der ETH (1930). Verhandlungen mit Artin, Nevanlinna und Hopf

In Zurich trat bald ein neues Angebot an Weyl heran, namlich aus Gottingen, wo er zum Nachfolger von David Hilbert (1862–1943) ausersehen wurde. Daruber berichtet der Schulratsprasident Arthur Rohn in einem Schreiben an die Mitglieder des Schweizerischen Schulrates vom 9. April 1930:

Zeit bis zum Ende des ersten Weltkrieges, Berufungen nach Karlsruhe (1916) und nach Breslau (1918)

Im Fruhjahr 1913 hatte Weyl sein epochemachendes Buch Die Idee der Riemannschen Flache abgeschlossen, in welchem diese Theorie erstmals „eine den modernen Anforderungen an Strenge genugende Behandlung“ erfuhr. Diese Bemerkung aus dem Vorwort des Buches bezog sich insbesondere auf die Begriffe der Analysis Situs (Topologie), fur welche die kurz vorher erschienenen Arbeiten von L.E. J. Brouwer eine wesentliche Klarung gebracht hatten. Das Buch fuhrte unter anderem zu einer praziseren Fassung des Begriffes der Mannigfaltigkeit, was fur die weitere Entwicklung der Mathematik von entscheidender Bedeutung war.

Die ETH um 1913

Die Eidgenossische Technische Hochschule in Zurich war 1855 als Eidgenossische Polytechnische Schule gegrundet worden. Als einzige Hochschule technischer Ausrichtung in der Schweiz erfullte sie seit ihrer Grundung eine wichtige Funktion bei der Ausbildung der im Zuge der Industrialisierung der Schweiz benotigten Ingenieure. In den Jahren 1908/09 erfuhr sie eine tiefgreifende Umgestaltung, die eine Reihe von zeitgemassen akademischen Forderungen berucksichtigte und den Hochschulcharakter der Schule betonte. So wurden die bis dahin ublichen obligatorischen Lehrgange durch Normalstudienplane ersetzt, und das System der Semesternoten mit Promotion von einem Jahreskurs zum nachsten wurde zugunsten von Vordiplomprufungen aufgegeben. Die lang andauernde Auseinandersetzung um Schulzwang oder Studienfreiheit entschied sich so zugunsten der akademischen Freiheit. Auch eine Neugliederung der Abteilungen war Inhalt der Reorganisation. Die Schule bestand nun aus den folgenden Abteilungen: I. Hochbau II. Bau-, Vermessungs- und Kulturingenieurwesen III. Maschinenwesen und Elektrotechnik IV. Chemie V. Pharmazie VI. Forstwirtschaft VII. Landwirtschaft VIII. Fachlehrer in Mathematik und Physik IX. Fachlehrer in Naturwissenschaften X. Militarwissenschaften XI. Allgemeine Abteilung.1 Als weitere, sehr wichtige Neuerung erhielt die Schule das Promotionsrecht; damit wurde die bisherige, unbefriedigende Regelung ersetzt, dass Absolventen der ETH, die doktorieren wollten, ihre Arbeit an der Universitat Zurich einreichen mussten. Erst einige Jahre spater, namlich 1911, wurde das Polytechnikum in „Eidgenossische Technische Hochschule“ (ETH) umbenannt.