Urs Stammbach

Homology in group theory

Varieties of groups.- Elements of homology theory.- Extensions in V with Abelian kernel.- The lower central series.- Central extensions.- Localization of nilpotent groups.

Homological methods in group varieties

In papers by Stallings [9] and the author [10], [11] the homology theory of groups has been applied to central series, and meaningful group theoretical results have been obtained. In the present paper we show how similar homological methods can be used to obtain interesting results in arbitrary varieties of groups. It is not surprising that the methods are most successful if applied to problems involving central series. It is the nature of a paper introducing new methods to repeat many well known results. However the approach presented here leads to an interestingly unifying point of view. Also, it is possible to simplify the proofs of many well known results. Given a variety ~ , we first define a functor S o from ~ to abelian groups. This functor is defined in terms of the integral second homology group functor H 2 ( , Z). We then prove that a surjective group homomorphism G ~ Q in ~ , with kernel N, gives rise to an exact sequence

The block structure and Ext of p-soluble groups

THEOREM. Let p 2 5 be a prime, let G be a finite p-soluble group, and let k be a field of characteristic p. If M and N are simple kG-modules in the same block of kG, then there exists n E N such that n < JG/O,(G)J/p and Extz(M, N) # 0. We note that for non-p-soluble groups G, the conclusion of the theorem is not in general true. Suppose G is the simple group L,(p’), and k is a field containing the field with p2 elements. If M and N are the two p-dimensional simple modules of kG (see Sect. 30 of [BN]), then M* ON is a simple projective kG-module (the Steinberg module). However M and N are in the principal block of kG, yet Ext[d;,(M, N) z Ext&(k, M* 0 N) = 0 for all m E /V. We would like to thank the referee for this example, which generalizes our original example. Proof of the Theorem. We shall use induction on IG/O,.( G)/. Set R = O,.(G). It is well known (see, e.g., [St, Proposition 6.31) that MJ.. and

Two remarks on the homology of group extensions

In this note we apply a particular technique to obtain information on the homology homomorphism e * : H * ( G; A ) → H * ( Q; A ) associated with a group extension and a Q -module A . The technique consists of using e itself to pull-back (0.1); that is, we construct the pull-back extension induced from (0.1) by e. This, however, is nothing but the semidirect product, N G , of N and G , with G operating on the left on N by conjugation. Thus we obtain from (0.1) the commutative diagram where e 1 is the projection and et is the multiplication e 1 ( n, x ) = nx , n ∈ N , x ∈ G . We now apply the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence functor to (0.2) and carry out computations in dimensions 2 and 3.

Pawel Sergejewitsch Alexandroff, 1896- 1982

wohl nicht liegen. Es ist ein ausgesprochenes Ärgernis, was wohl auch gelegentliche Absagen aus den alten Ländern erklärt. Hier sollte die Polit ik doch einmal über ihren Schatten springen. Gut funktionierende GKs könnten geradezu Musterbeispiele für das Zusammenwachsen von West und Ost sein. Da sollten sich derartige Kleinstlichkeiten verbieten. Manchmal Pawel Sergejewitsch Alexandroff, 18961982

Hermann Weyl, Heinz Hopf und das Jahr 1930 an der ETH

Les racines. La personnalité de Michel fut beaucoup influencée par celle de son père. Donat Plancherel, le père de Michel, naquit en 1863 à Bussy, un village dans le district de la Broye du canton de Fribourg, non loin d’Estavayer. Il travailla comme instituteur à Villaz-Saint-Pierre puis à Bussy. Dès 1892, la famille Plancherel, composée de Justine et de 8 enfants (dont 2 moururent en bas âge) s’installa à Fribourg où Donat Plancherel occupa simultanément les postes d’administrateur de l’imprimerie St-Paul (gérance de ses ateliers et de ses diverses publications), de professeur au Collège St-Michel (1896–1912) et à l’Ecole secondaire de jeunes filles où il était chargé des cours de comptabilité et de calcul commercial.,,Moribus et litteris sacrum“, zu Deutsch: der Charakterbildung und der Gelehrsamkeit geweiht, stand auf einem schwarzen Medaillon über dem Tor zu meinem Gymnasium am Basler Münsterplatz. Mein Namensvetter Thomas Platter war hier 1541–1578 Rektor der städtischen Lateinschule gewesen, und 1589 wurde daraus das ,,Humanistische Gymnasium“. Dieses Gymnasium gibt es so nicht mehr; das Medaillon hat aber überlebt und übt weiterhin seine geheimnisvolle Wirkung auf meinen Lebensgang aus.Michel Kervaire died on November 19, 2007, in Geneva. He was born in Poland on April 26, 1927. His secondary school education was in France and he studied mathematics at Eigdenössisches Technische Hochschule Zurich, defending his thesis in 1955 under the supervision of Heinz Hopf. He published a second thesis in France in 1965. He was a professor in New York (1959–1971) and in Geneva (1972–2007), with several long-term academic visits to Princeton, Paris, Chicago, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge (UK) and Bombay. He was very active as editor of Commentarii Mathematici Helvetici (1980–2001) and chief editor of L’Enseignement Mathématique (1978–2007). He had an h.c. doctorate from Neuchâtel (1986). Kervaire was an inspiring example that a mathematician can be both a generalist and a specialist at the highest level. As a generalist he knew how to appreciate a large range of subjects and encourage others to progress in their work. Among other things, he organized uncountably many meetings in the small mountain village of Les Plans-sur-Bex, mixing younger students with the best international specialists in all kinds of domains: Brauer groups, foliations, arithmetic, von Neumann algebras, knot theory, representations of Lie groups, the theory of codes, ergodic theory and finite groups (to name but a few). As a specialist, he made his mark in several subjects: he strongly contributed to changing differential topology and homotopy theory from the mid-1950s onwards; he created the subject of high-dimensional knots; he formulated a famous conjecture (still open) in abstract group theory and he made deep contributions on problems mixing algebra, number theory, and combinatorics.This book includes twenty-three essays to celebrate the 100th anniversary of the Swiss Mathematical Society. The life and work of outstanding mathematicians, extraordinary conferences held in Switzerland such as the three International Congresses of Mathematicians, the influence of women in Swiss mathematics are among the topics. The articles, including many photographs, old and recent, give a vivid picture of hundred years of mathematical life in Switzerland. Dieses Buch ist eine Festschrift zum 100-jahrigen Bestehen der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft. Es enthalt dreiundzwanzig Beitrage zur Mathematik in der Schweiz. Geschichtliches und Biographisches uber herausragende Mathematiker an Schweizer Universitaten, grosse Tagungen wie etwa die drei Internationalen Mathematiker-Kongresse, die Rolle der Frauen in der Schweizer Mathematik sind nur einige Themen. Insgesamt vermitteln die verschiedenen Essays zusammen mit den zahlreichen Abbildungen ein hochst lebendiges und anschauliches Panorama eines Jahrhunderts Schweizer Mathematik.

Beno Eckmann 1917–2008

Am 25. November 2008 verstarb Beno Eckmann in seinem 92. Lebensjahr. Dieser Nachruf beleuchtet Leben und Werk dieses bedeutenden Vertreters der Algebra und der Topologie.

Gleichverteilung modulo Eins

Die fruhe Geschichte der Gleichverteilung haben E. Hlawka und Ch. Binder in der interessanten Arbeit [9] dargestellt. Sie stellen darin fest, dass Hermann Weyls Arbeit [22] zu dessen wichtigsten Leistungen gehore. Mit dieser Arbeit beginne eine neue Ara in der analytischen Zahlentheorie und in der Theorie der Diophantischen Ungleichungen und Gleichungen (siehe [9, S. 197 bzw. S. 222]).1 In der Tat ist bemerkenswert, wie lebendig sich die Forschung auf der Grundlage von Weyls Arbeit in diesem Gebiet entwickelt hat.2 Dabei hat sich auch gezeigt, dass die Eigenschaft der Gleichverteilung in erstaunlich vielen unterschiedlichen Gebieten eine wichtige Rolle spielt; entsprechende Fragestellungen gibt es in so weit voneinander entfernten Gebieten wie der klassischen und der modernen Zahlentheorie, der statistischen Mechanik, der Wahrscheinlichkeitstheorie3 und der Theorie numerischer Integration. Dementsprechend zahlreich und weitgespannt sind auch die einschlagigen Veroffentlichungen. So enthalt die Bibliographie des bereits 1974 erschienenen Buches Uniform distribution of sequences von L. Kuipers und H. Niederreiter [14] gegen 1000 Eintrage. Heute ware eine entsprechende Liste selbstverstandlich noch erheblich langer.

Die Zürcher Vorlesung von Issai Schur über Darstellungstheorie

Abstract.Im Jahre 1936, unmittelbar nach seiner Entlassung als Professor in Berlin, wurde Issai Schur an die ETH in Zürich eingeladen, um eine Vorlesung über die Darstellungstheorie von Gruppen zu halten. Die (kurze) Vorlesung wurde damals vom jungen Eduard Stiefel ausgearbeitet und in vervielfältigter Form herausgegeben. Es handelt sich dabei historisch um den ersten Lehrbuch-Text überhaupt, der ganz der Darstellungstheorie gewidmet war. Im vorliegenden Beitrag werden die Hintergründe der Einladung von Schur an die ETH beleuchtet, es wird ein Überblick über den Inhalt des Textes gegeben und schliesslich wird die damalige Veröffentlichung in einen historischen Bezug gesetzt.

Cohomology of Groups

In this chapter we shall apply the theory of derived functors to the important special case where the ground ring Λ is the group ring ℤG of an abstract group G over the integers. This will lead us to a definition of cohomology groups Hn(G, A) and homology groups Hn(G, B) n ≧ 0, where A is a left and B a right G-module (we speak of “G-modules” instead of “ℤG-modules”). In developing the theory we shall attempt to deduce as much as possible from general properties of derived functors. Thus, for example, we shall give a proof of the fact that H2(G, A) classifies extensions which is not based on a particular (i.e. standard) resolution.