Johannes Altenbach

Closed and approximate analytical solutions for rectangular Mindlin plates

SummaryBasing on the Nádai-Lévy and the Vlasov-Kantorovich methods closed and approximate analytical solutions of Mindlins plate equations in the case of rectangular plates are discussed. For elastic, homogeneous and isotropic plates three unknowns of the governing two-dimensional boundary value problem are formulated as series of products of functions depending on a single coordinate. Specifying the functions for one of the in-plane coordinate directions the governing partial differential equations for a special type of boundary conditions and the principle of virtual displacements for the general case yield a set of ordinary differential equations. The analytical solution of these equations provides expressions for functions depending on the other in-plane coordinate. For plates with simply supported edges for one of the coordinate directions and for arbitrary homogeneous boundary conditions for the other one the Nádai-Lévy method provides a closed or exact solution in the sense that the infinite series for displacements and stress resultants can be truncated to obtain any desired accuracy. In the general case of nonsimply supported edges the iterative Vlasov-Kantorovich method yields an approximate analytical solution. Both methods are nonsensitive to a reduction of the thickness with respect to accuracy and represent the boundary layer solutions in terms of exponential functions. Applications to rectangular plates with various types of boundary conditions are presented.

On the Prediction of Creep Damage by Bending of Thin-Walled Structures

Analysis of thin-walled structures operating at elevated temperaturesneeds a consideration of time-dependent creep-damage behaviour. Within theframework of the creep theory and the CDM the irreversible deformations ofthe structural elements can be described by constitutive equations withinternal state variables. The paper deals with an application ofphysically based creep-damage constitutive model with two damageparameters, proposed by Hayhurst, to the stress analysis of thin-walledplates and shallow shells. The governing equations of the shell theory areformulated by the consideration of geometrical nonlinearities associatedwith time-dependent finite deflections. Numerical examples show aninfluence of the finite deflections on the life-time predictions in platesas well as illustrate a dependence of damage evolution on the stress statemode. The results for creep damage evolution in plates are compared withresults based on the classical Kachanov–Rabotnov creep-damageconstitutive model.

Classification of Composite Materials

Fibre reinforced polymer composite systems have become increasingly important in a variety of engineering fields. Naturally, the rapid growth in the use of composite materials for structural elements has motivated the extension of existing theories in structural mechanics, therein.

Schubstarre Platten mit kleinen Durchbiegungen

In diesem Kapitel werden die Gleichungen der klassischen Plattentheorie abgeleitet. Im Unterschied zur Scheibentheorie werden jetzt nur die Belastungen einbezogen, die zu einer Krummung und/oder Drillung der Plattenmittelflache fuhren. Das sind z. B. Flachen-, Linien- oder Einzelkrafte rechtwinklig zur Plattenmittelflache, aber auch Randmomente oder Randkrafte.

Direkte Formulierung von Theorien für ebene Flächentragwerke

Im nachfolgenden Kapitel wird ein alternativer Zugang zur Formulierung der Grundgleichungen fur ebene Flachentragwerke vorgestellt. Dabei wird zunachst auf die Betrachtung des dreidimensionalen Kontinuums verzichtet. Statt dessen wird eine deformierbare ebene Flache eingefuhrt, deren Punkte bestimmte physikalische Eigenschaften zugeordnet werden. Nach Ableitung der Grundgleichungen erfolgt in einem zweiten Schritt die Herleitung der konstitutiven Gleichungen. Im Abschn. 8.1 wird das reine Plattenproblem dargestellt. Damit erhalt man eine Theorie, die Analogien zum Kap. 4 aufweist. Im Abschn. 8.2 folgt dann das gekoppelte Scheiben-Plattenproblem. Die entsprechende Theorie weist Analogien zum Kap. 5 auf. Den Abschluss dieses Kapitels bildet im Abschn. 8.3 ein Anwendungsbeispiel. Zu den Grundlagen der Kontinuumsmechanik und der Tensorrechnung wird an dieser Stelle auf Altenbach (2015) und Lebedev u. a. (2010); Lebedev, Cloud, und Eremeyev (2010) verwiesen.

Anisotrope Scheiben und Platten

Dieses Kapitel ist eine Einfuhrung in die Berechnung von anisotropen Scheiben und Platten. Diese Aufgabenklasse hat auf Grund zahlreicher Anwendungen in der Luft- und Raumfahrt, im Leichtbau, im Bauingenieurwesen und anderen Bereichen an Bedeutung gewonnen. Diese Einfuhrung in die Modellierung und Berechnung anisotroper Flachentragwerke soll die Einarbeitung in spezielle Lehrbucher zu den Laminat- und Sandwichtragwerken, fur die hier stellvertretend Mālmeisters u. a.; 1977; Mālmeisters, Tamužs, und Teters; 1977; Altenbach u. a.; 1996; Altenbach, Altenbach, und Rikards; 1996; Reddy; 1997 genannt werden sollen, erleichtern. Gleichzeitig soll die Verbindung zur Theorie orthotroper Platten, z. B. Marguerre und Wornle; 1975, geschaffen werden.

Schubelastische Platten mit kleinen Durchbiegungen

Die klassische Plattentheorie, die dem Modell der schubstarren Platte mit kleinen Durchbiegungen entspricht, hat sich fur viele praktische Anwendungen bewahrt, falls die Platten hinreichend dunn (z. B. h/Min(\(l_{1},l_{2})<0{,}1\)) und die Durchbiegungen klein im Verhaltnis zur Plattendicke sind (\(w/h<0{,}2\)). Auch fur Platten mittlerer Dicke (z. B. h/Min(\(l_{1},l_{2})<0{,}2\)) kann, falls die Durchbiegungen auch weiterhin klein bleiben, ein zweidimensionales, lineares Plattenmodell Grundlage einer statischen oder dynamischen Strukturanalyse sein. Wie bereits aus der Balkentheorie bekannt, nimmt aber mit zunehmender Dicke h der Einfluss der Schubverformungen in Querrichtung zu. Dies ist auch der Fall, wenn, wie bei Laminat- oder Sandwichplatten (s. Kap. 5), der Plattenquerschnitt wesentlich schubweicher als bei einer Stahl- oder Betonplatte ist. Hinzu kommt ein theoretischer Aspekt, die Probleme der Formulierung korrekter Randbedingungen zu losen, und ein numerischer Aspekt, die Ableitung sog. C 0-stetiger finiter Plattenelemente zu vereinfachen.

Modelling and Analysis of Beams

In Chap. 1 the classification of composite materials, the significance, advantages and limitations of composite materials and structures and the material characteristics of the constituents of composite materials were considered. Chapter 2 gave a short introduction to the governing equations of the linear theory of anisotropic material behavior. Chapter 3 defined effective material moduli of composites including elementary mixture rules and improved formulas.

Material’s properties

Below material properties for classical materials, for the constituents of various composites and for unidirectional layers are presented. The information about the properties were taken from different sources. Among others the following Handbooks, Textbooks and Monographs are used: 1. W. Beitz, K.-H. Kiittner (Eds): Dubbel — Taschenbuch fur den Maschinenbau. Springer: Berlin et al., 1990 2. J.-M- Berthelot: Composite Materials. Springer: New York, 1999 3. H. Czichos (Ed.): Hutte — Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften Springer: Berlin et al., 1991 4. M.W. Hyer: Stress Analysis of Fiber-Reinforced Composite Materials. — Boston et al.: McGraw-Hill, 1998 5. V.V. Vasiliev and E.V. Morozov: Mechanics and Analysis of Composite Materials. — Amsterdam: Elsevier, 2001 6. G.I. Zagainov and G.E. Lozino-Lozinski (Eds): Composite Materials in Aerospace Design. — London et al.: Chapman & Hall, 1996

Schubstarre Platten mit großen Durchbiegungen

In den Kap. 3 bis 5 wurden Plattenmodelle behandelt, die ausschlieslich fur den Fall kleiner Verformungen gelten. In der Praxis konnen in bestimmten dunnwandigen Bauteilen masige (finite) Durchbiegungen auftreten. Wichtige Anwendungsfalle liegen z. B. bei nichtlinearem Werkstoffverhalten (zeitabhangige Kriechvorgange, belastungsabhangige Plastizitat) sowie bei Stabilitatsuntersuchungen mit Analysen der Formanderung in uberkritischen Bereichen. Mit zunehmenden Durchbiegungen konnen geometrisch-nichtlineare Terme in den kinematischen Gleichungen nicht mehr vernachlassigt werden. Weiterhin entstehen bei finiten Durchbiegungen Membrankrafte, die zu einer Kopplung der Scheiben- und Plattenschnittgrosen fuhren und somit den Gleichgewichtszustand der Platte wesentlich beeinflussen. Wird dieser Einfluss vernachlassigt, liefern geometrisch-lineare Modelle (Theorien 1. Ordnung) nur eine erste Abschatzung zum Verformungs- und Spannungszustand sowie eine wesentliche Uberschatzung der Durchbiegungen bzw. eine Unterschatzung der Tragfahigkeit dunnwandiger Bauteile.