Karl-Heinz Goldhorn

Grundbegriffe der Darstellungstheorie

Wie wir in Abschn. 17B gesehen haben, lauft die Diskussion von Symmetrien und Invarianzen stets darauf hinaus, eine Operation einer Gruppe G auf einer Menge Z zu untersuchen (wir betrachten o. B. d. A. nur Linksoperationen). Die dort angegebenen Beispiele machen schon klar, dass Z in vielen Fallen ein \({{\mathbb K}}\)-Vektorraum V ist und dass die Gruppenelemente als lineare Abbildungen operieren, d. h. man hat

Drehgruppe und Lorentzgruppe

Wie angekundigt, besprechen wir nun einige konkrete Matrixgruppen etwas naher, die fur die Physik von entscheidender Bedeutung sind. Uber die physikalische Anwendung hinaus dienen die hier dargestellten Einzelheiten im weiteren Verlauf auch als ein Fundus fur Beispiele, an denen sich allgemeinere Begriffe und Methoden illustrieren lassen. Allerdings bietet unsere Darstellung nur einen ersten Einstieg, und wer mehr uber die betrachteten Gruppen erfahren mochte, sei z. B. auf [14, 18, 48, 94] verwiesen oder auch – fur die rein mathematischen Aspekte – auf [20, 37].

Die infinitesimale Methode in der Darstellungstheorie

Nach Theorem 19.10 konnen wir jeder linearen Lie-Gruppe \(\mathbf{G} \leq \mathbf{GL} (n, {\mathbb K})\) ihre Lie-Algebra \({{\mathcal L}} (\mathbf{G})\) zuordnen, die den Tangentialraum an G in E darstellt und als Lie-Produkt das Kommutatorprodukt tragt. Bei der detaillierten Untersuchung und vor allem bei der expliziten Berechnung der irreduziblen Darstellungen arbeitet man lieber mit Lie-Algebren als mit den Lie-Gruppen selbst, weil die Struktur von Lie-Algebren wesentlich leichter durchschaut werden kann. Dazu muss man die Darstellungstheorie auf die Lie-Algebren ubertragen, und man muss untersuchen, was die Darstellungen von \({{\mathcal L}}(\mathbf{G})\) mit denen von G selbst zu tun haben.

Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren und die quantenmechanische Dynamik

In diesem Kapitel beweisen wir den beruhmten Spektralsatz, der besagt, dass jeder selbstadjungierte Operator A im Hilbertraum H in der Form

Die irreduziblen Darstellungen von SU(2) und SO(3)

Die in den letzten vier Kapiteln entwickelten theoretischen Resultate und Methoden werden jetzt auf die speziellen Gruppen \(\mathbf{S U}(2)\) und \(\mathbf{S O}(3)\) angewendet. Diese beiden Gruppen sind nicht nur fur die Physik besonders wichtig, sondern bilden auch ein Modellbeispiel und sozusagen einen Ausgangspunkt fur die weitergehende mathematische Theorie der kompakten halbeinfachen Lie-Gruppen. In den ersten beiden Abschnitten besprechen wir die irreduziblen Darstellungen der beiden Gruppen, wobei wir allerdings nicht die im vorigen Kapitel besprochene „infinitesimale Methode“ verwenden, sondern direkt eine – sozusagen intelligent geratene – Folge \((D^s\,, s \in S)\) von irreduziblen Darstellungen angeben und dann beweisen, dass darin bis auf Aquivalenz alle irreduziblen Darstellungen vorkommen.

Grundsätzliches über Gruppen

Der mathematische Gruppenbegriff kodiert eine Situation, die man in Mathematik und Physik an den verschiedensten Stellen antrifft, und die Beschaftigung mit Gruppen verteilt sich daher auch auf diverse Teildisziplinen. Die Theorie der diskreten Gruppen – d. h. der Gruppen, deren Elemente man sich als einzelne Punkte vorstellen sollte – gehurt in die Algebra, und schon hier ist es ein groser Unterschied, ob man sich mit endlichen oder unendlichen Gruppen befasst. In der Theorie der topologischen Gruppen treten Aspekte aus Topologie und Funktionalanalysis hinzu, und bei der Behandlung von Lie schen Gruppen schlieslich werden Begriffe und Methoden aus Algebra, Topologie, Differentialgeometrie und Funktionalanalysis herangezogen. Viele konkret wichtige Gruppen bestehen aus Matrizen, und daher benutigt man zu ihrer Untersuchung auch Werkzeuge aus der linearen Algebra und Matrizentheorie.

Darstellungstheorie kompakter Gruppen

Das einfuhrende Material aus dem vorigen Kapitel ermoglicht es fur endliche Gruppen schon, die Darstellungstheorie recht weit voranzutreiben: Zunachst einmal genugt es, sich auf endlichdimensionale Tragerraume zu beschranken (vgl. Aufgabe 20.8), und dann kann man nach dem Satz von Maschke die beteiligten Darstellungen auch als unitar annehmen. Diese aber sind nach Theorem 20.11 vollreduzibel, und fur ihre irreduziblen Bausteine gilt das Schursche Lemma in seinen beiden Varianten 20.13 und 20.14. Ausgehend vom Schurschen Lemma kann eine sehr weitreichende algebraische Theorie der Darstellungen endlicher Gruppen entwickelt werden, doch ist diese fur die Physik so lange nicht von zentraler Bedeutung, wie es nicht gelingt, sie auf gewisse unendliche Gruppen zu verallgemeinern.

L ie -Gruppen und L ie -Algebren

Abgesehen von den Permutationsgruppen (Beispiel 6 aus Kap. 17), den Gittern (Aufgabe 17.3) und den kristallographischen Gruppen (Aufgabe 18.9) interessieren in der Physik hauptsachlich kontinuierliche Gruppen, d. h. solche, deren Elemente kontinuierlich variiert werden konnen. Man kann sie auch als Transformationsscharen betrachten, welche von endlich vielen reellen Parametern abhangen (oder auch von unendlich vielen, doch ist das ein fortgeschrittenes Thema, auf das wir hier nicht eingehen konnen). Typische Beispiele hierfur haben wir im vorigen Kapitel kennengelernt:

Flächen Beschränkter Mittlerer Krümmung in Einer Dreidimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit

In recent papers HILDEBRANDT [11] and HARTH [5] proved the existence of solutions of the problem of Plateau for surfaces of bounded mean curvature with fixed and free boundaries in E3 and for minimal surfaces with free boundaries in a Riemannian manifold, respectively. Here their methods will be combined to solve the problem of Plateau for surfaces of bounded mean curvature in a Riemannian manifold. This will be done for fixed and free boundaries. Moreover, isoperimetric inequalities for the solutions will be given.