Margarita Kraus

Lower bounds for eigenvalues of the Dirac operator on surfaces of rotation

In this paper we will prove new lower bounds for the first eigenvalue of the Dirac operator on two-dimensional Riemannian manifolds diffeomorphic to S2 with an isometric S1-action. We show examples, where this new bound improves the known lower bounds and coincides in the limit with the known upper bounds.

A Weighted L 2 -Estimate of the Witten Spinor in Asymptotically Schwarzschild Manifolds

We derive a weighted L 2 -estimate of the Witten spinor in a complete Riemannian spin manifold (M n ,g) of non-negativescalar curvature which is asymptotically Schwarzschild. The interior geometry of M enters this estimate only via the lowest eigenvalue of the square of the Dirac operator on a conformal compactification of M.

Curvature Estimates in Asymptotically Flat Lorentzian Manifolds

We consider an asymptotically flat Lorentzian manifold of dimension (1,3). An inequality is derived which bounds the Riemannian curvature tensor in terms of the ADM energy in the general case with second fundamental form. The inequality quantifies in which sense the Lorentzian manifold becomes flat in the limit when the ADM energy tends to zero.

Lower bounds for eigenvalues of the Dirac operator on n-spheres with SO(n)-symmetry

In this paper we derive estimates for the eigenvalues of the Dirac operator and their multiplicity on manifolds diffeomorphic to Sn with an isometric SO(n)-action. Especially we prove a new lower bound for the first eigenvalue and show an example, where this new bound coincides in the limit with the known upper bounds.

Grundbegriffe der Darstellungstheorie

Wie wir in Abschn. 17B gesehen haben, lauft die Diskussion von Symmetrien und Invarianzen stets darauf hinaus, eine Operation einer Gruppe G auf einer Menge Z zu untersuchen (wir betrachten o. B. d. A. nur Linksoperationen). Die dort angegebenen Beispiele machen schon klar, dass Z in vielen Fallen ein \({{\mathbb K}}\)-Vektorraum V ist und dass die Gruppenelemente als lineare Abbildungen operieren, d. h. man hat

Drehgruppe und Lorentzgruppe

Wie angekundigt, besprechen wir nun einige konkrete Matrixgruppen etwas naher, die fur die Physik von entscheidender Bedeutung sind. Uber die physikalische Anwendung hinaus dienen die hier dargestellten Einzelheiten im weiteren Verlauf auch als ein Fundus fur Beispiele, an denen sich allgemeinere Begriffe und Methoden illustrieren lassen. Allerdings bietet unsere Darstellung nur einen ersten Einstieg, und wer mehr uber die betrachteten Gruppen erfahren mochte, sei z. B. auf [14, 18, 48, 94] verwiesen oder auch – fur die rein mathematischen Aspekte – auf [20, 37].

Die infinitesimale Methode in der Darstellungstheorie

Nach Theorem 19.10 konnen wir jeder linearen Lie-Gruppe \(\mathbf{G} \leq \mathbf{GL} (n, {\mathbb K})\) ihre Lie-Algebra \({{\mathcal L}} (\mathbf{G})\) zuordnen, die den Tangentialraum an G in E darstellt und als Lie-Produkt das Kommutatorprodukt tragt. Bei der detaillierten Untersuchung und vor allem bei der expliziten Berechnung der irreduziblen Darstellungen arbeitet man lieber mit Lie-Algebren als mit den Lie-Gruppen selbst, weil die Struktur von Lie-Algebren wesentlich leichter durchschaut werden kann. Dazu muss man die Darstellungstheorie auf die Lie-Algebren ubertragen, und man muss untersuchen, was die Darstellungen von \({{\mathcal L}}(\mathbf{G})\) mit denen von G selbst zu tun haben.

Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren und die quantenmechanische Dynamik

In diesem Kapitel beweisen wir den beruhmten Spektralsatz, der besagt, dass jeder selbstadjungierte Operator A im Hilbertraum H in der Form

Die irreduziblen Darstellungen von SU(2) und SO(3)

Die in den letzten vier Kapiteln entwickelten theoretischen Resultate und Methoden werden jetzt auf die speziellen Gruppen \(\mathbf{S U}(2)\) und \(\mathbf{S O}(3)\) angewendet. Diese beiden Gruppen sind nicht nur fur die Physik besonders wichtig, sondern bilden auch ein Modellbeispiel und sozusagen einen Ausgangspunkt fur die weitergehende mathematische Theorie der kompakten halbeinfachen Lie-Gruppen. In den ersten beiden Abschnitten besprechen wir die irreduziblen Darstellungen der beiden Gruppen, wobei wir allerdings nicht die im vorigen Kapitel besprochene „infinitesimale Methode“ verwenden, sondern direkt eine – sozusagen intelligent geratene – Folge \((D^s\,, s \in S)\) von irreduziblen Darstellungen angeben und dann beweisen, dass darin bis auf Aquivalenz alle irreduziblen Darstellungen vorkommen.

Grundsätzliches über Gruppen

Der mathematische Gruppenbegriff kodiert eine Situation, die man in Mathematik und Physik an den verschiedensten Stellen antrifft, und die Beschaftigung mit Gruppen verteilt sich daher auch auf diverse Teildisziplinen. Die Theorie der diskreten Gruppen – d. h. der Gruppen, deren Elemente man sich als einzelne Punkte vorstellen sollte – gehurt in die Algebra, und schon hier ist es ein groser Unterschied, ob man sich mit endlichen oder unendlichen Gruppen befasst. In der Theorie der topologischen Gruppen treten Aspekte aus Topologie und Funktionalanalysis hinzu, und bei der Behandlung von Lie schen Gruppen schlieslich werden Begriffe und Methoden aus Algebra, Topologie, Differentialgeometrie und Funktionalanalysis herangezogen. Viele konkret wichtige Gruppen bestehen aus Matrizen, und daher benutigt man zu ihrer Untersuchung auch Werkzeuge aus der linearen Algebra und Matrizentheorie.