Klaus Gersten

Flow and heat transfer along a plane wall with periodic suction

SummaryThe three-dimensional incompressible laminar boundary layer past a flat plate is investigated, when suction with a slightly sinusoidal transverse suction velocity distribution at the wall is applied. For the asymptotic flow conditions far downstream the components of the wall shear stress and the heat transfer including its dependence on Prandtl number are determined.ZusammenfassungEs wird die dreidimensionale inkompressible, laminare Grenzschicht an der längsangeströmten Platte behandelt, bei der mit einer in Querrichtung schwach sinusförmigen Geschwindigkeitsverteilung an der Wand abgesaugt wird. Für den asymptotischen Zustand weit stromabwärts werden die Komponenten der Wandschubspannung sowie der Wärmeübergang mit dessen Abhängigkeit von der Prandtl-Zahl bestimmt.

Exact Solutions of the Navier–Stokes Equations

The task of finding exact solutions of the Navier–Stokes equations is generally extremely difficult. The nonlinearity of these equations forbids the use of the principle of superposition which served so well in the case of inviscid incompressible potential flows.

Influence of the prandtl number on second-order heat transfer due to surface curvature at a three-dimensional stagnation point

Abstract The heat transfer at the stagnation point of a body in laminar, incompressible, three-dimensional flow is studied using second-order boundary-layer theory. The body is assumed to have two different principal curvatures at the stagnation point. The influence of the Prandtl number on the Nusselt number, in particular on the second-order terms resulting from longitudinal and transverse curvatures of the body surface, is shown. The conditions under which the contributions to the Nusselt number due to the transverse curvature effect and the longitudinal curvature effect cancel each other are demonstrated. Numerical results for a broad range of the Prandtl number (0.2 ≤ Pr ≤ 12) are given. The two limiting cases of very small and very large Prandtl numbers are considered using a perturbation analysis. Asymptotic expansions are obtained for both limiting cases; for very large Prandtl numbers, the method of matched asymptotic expansions is used to obtain the Nusselt number including both curvature effects. In the limiting case of very small Prandtl numbers, the first-order term for the Nusselt number, which is the result of Prandtls boundary-layer theory, tends to zero as Prandtl numbers tend to zero. In contrast to this, the second-order contribution to the Nusselt number due to curvature approaches a finite, positive or negative value as Prandtl numbers tend to zero. Therefore, the second-order boundary-layer effect due to surface curvature gains significance in this case, and plays a key role for the heat transfer at stagnation points.

Fully Developed Turbulent Pipe Flow

Incompressible pipe flows are fully developed if the velocities are independent of the axial coordinate. The theory of turbulent pipe flows at high Reynolds numbers leads to analytical expressions for the velocity profile and the friction factor, which contain free constants. One of the latter is the well-knownKarman constant. The free constants can be determined from the best available experimental data. Final formulae for the velocity distribution and the friction factor are derived. Further effects on these laws are also considered, such as wall roughness and low Reynolds number effects.

Der Einfluß variabler Stoffwerte auf natürliche laminare Konvektionsströmungen

First the free convection laminar flow near a plane stagnation point and at the vertical flat plate is investigated. The functions describing the temperature dependence of the fluid properties are expanded as Taylor series at the reference state T∞ (ambient temperature) whose coefficients are dimensionless fluid properties like the Prandtl number, but are not specified for particular fluids. Shear stress and heat flux at the wall are given for arbitrary temperature dependence of the fluid properties as universal power series of a parameterε. This perturbation parameterε describes the strength of heat transfer. Comparison with the property-ratio method shows how the exponents in that method depend on the fluid properties without any need of empirical information. From these results a non-rational approximation for arbitrary cylindrical bodies is developed.ZusammenfassungEs wird zunächst die laminare natürliche Konvektionsströmung in der Nähe eines ebenen Staupunktes und für die senkrechte Platte betrachtet. Die Stoffgesetze werden in der Umgebung des Bezugszustandes T∞ (Umgebungstemperatur) in Taylor-Reihen entwickelt, deren Koeffizienten dimensionslose Stoffkennzahlen — wie die Prandtl-Zahl — sind, die als freie Parameter in die Rechnung eingehen. Wandschubspannung und Wärmeübergang lassen sich für beliebige Stoffgesetze als Potenzreihe eines Parametersε universell angeben. Der Entwicklungsparameterε ist dabei ein Maß für die Stärke der Wärmeübertragung. Ein Vergleich mit der Methode der Stoffwertverhältnisse ermöglicht die Bestimmung der dort vorkommenden Exponenten für alle Stoffe, ohne daß auf empirische Daten zurückgegriffen werden muß. Aus den Ergebnissen wird dann eine nicht-rationale Näherungsbeziehung für beliebige zylindrische Körper gewonnen.

Die kompressible Grenzschichtströmung am dreidimensionalen Staupunkt bei starkem Absaugen oder Ausblasen

ZusammenfassungEs wird die kompressible, laminare Grenzschichtströmung am dreidimensionalen Staupunkt mit Absaugen oder Ausblasen an der Wand untersucht und daraus Wandschubspannung, Wärmeübergang und Verdrängungsdicke in Abhängigkeit von der Normalgeschwindigkeit an der Wand bestimmt. Besonders ausführlich wkd auf die Grenzfälle sehr starken Absaugens bzw. Ausblasens eingegangen, die auf singuläre Störungsprobleme führen, deren Lösung mit der Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen erfolgt. – Die Unsymmetrie am Staupunkt wird durch den Parameter c gekennzeichnet mit den Spezialfällen c=0 (ebener Staupunkt) und c=1 (rotationssymmetrischer Staupunkt). Im Grenzfall starken Absaugens sind die beiden Wandschubspannungskomponenten und der Wärmeübergang unabhängig von c, im Grenzfall starken Ausblasens ist nur eine der beiden Wandschubspannungskomponenten von c unbeeinflußt.AbstractThe compressible laminar boundary layer flow at a general three-dimensional stagnation point including large rates of injection or suction on the porous surface is considered. The wall shear stress, heat flux and displacement thickness as function of the mass transfer parameter are determined. The two limiting cases of intensive suction and intensive blowing lead to singular perturbations problems, which are solved by the method of matched asymptotic expansions.—The asymmetry of the stagnation point flow is characterized by the ratio c of the two velocity gradients including the special cases of two-dimensional (c=0) and axisymmetric (c=1) stagnation point flow.-For intensive suction the wall shear stresses and the heat flux become independent of c, whereas for intensive blowing only one of the two wall shear stress components is independent of c.

Fundamentals of Turbulent Flows

Most flows which occur in practical applications are turbulent. This term denotes a motion in which an irregular fluctuation (mixing, or eddying motion) is superimposed on the main stream.

Skin friction and heat transfer on a circular cylinder moving in a fluid at rest

SummaryThe incompressible laminar stationary flow along a circular cylinder drawn through an orifice with constant velocity is studied. The surrounding fluid is at rest. (Manufacture of fibers.) For skin friction and heat transfer, a solution for high values of Reynolds number is given in the form of an asymptotic expansion. The special second-order effects, entrainment and curvature, are studied. It is shown that the entrainment effect becomes important for skin friction when the distance from the orifice is small, whereas the influence on heat transfer is small. The curvature effect on skin friction and heat transfer is given as a function of Reynolds number and distance from the orifice.ZusammenfassungEs wird die inkompressible, laminare und stationäre Strömung entlang eines mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Kreiszylinders untersucht, der aus einer Öffnung hervortritt (Spinnprozeß). Das umgebende Fluid in großer Entfernung vom Zylinder befinde sich dabei in Ruhe. Für die Schubspannung und den Wärmeübergang bei großen Reynoldszahlen wird eine Lösung in Form einer asymptotischen Entwicklung angegeben. Insbesondere werden die Effekte 2. Ordnung, Verdrängung und Krümmung, untersucht. Es wird gezeigt, daß der Verdrängungseffekt für kleine Abstände von der Zylinderaustrittsöffnung für die Schubspannung von Bedeutung wird, wohingegen der Wärmeübergang dadurch nur wenig beeinflußt wird. Der Einfluß der Krümmung auf die Wandschubspannung und den Wärmeübergang wird als Funktion der Reynoldszahl und des Abstandes von der Zylinderaustrittsöffnung angegeben.

Wärme- und Stoffübertragung bei großen Prandtl- bzw. Schmidtzahlen

ZusammenfassungFür die Keilströmungen werden die Wärmeübergangszahlen bei großen Prandtl-Zahlen untersucht. Die asymptotischen Näherungen sind wesentlich verschieden für undurchlässige Wand, für Absaugen und für Ausblasen. Für kleine Absauge- bzw. Ausblaseparameter f0 und große Prandtl-Zahlen Pr handelt es sich um ein singuläres Störungsproblem mit zwei Parametern, dessen Lösung nur von einer Kombination der beiden Parameter proportional f0 Pr2/3 abhängig ist. Beim Diffusionsproblem hängen der bezogene Stoffübergang und wegen der Eckert-Schneider-Bedingung auch die Wandkonzentration nur von der Kombination f0Sc2/3 ab.AbstractFor wedge flows heat transfer coefficients for large Prandtl numbers Pr are investigated. The asymptotic approximations are completely different for impermeable wall, for suction and for injection. For small parameters f0 of suction or injection and large Prandtl numbers a singular perturbation problem with two perturbation parameters arises, whose solution depends only on a combination of the two parameters proportional to f0Pr2/3. In the analogous diffusion problem the properly based mass transfer coefficient and because of the Eckert-Schneider condition also the wall concentration depend only on the combination f0Sc2/3.

The second-order boundary layer along a circular cylinder in supersonic flow

Abstract Tha sacond-ordar laminar boundary layar along a circular cylindar in suparsonic (low with and without surfaca mass transfar is studiad using tha mathod of matchad asymptotic axpansions. Spacifically, tha analysis obtains tha sacond-ordar tarms for tha prassura, tha shaar strass, and tha haat transfar at tha wall dua to transvarsa surfaca curvatura and displacamant. For tha flow naar tha laading adga of tha cylindar numarical rasults ara prasantad. Thara ara thraa sacond-ordar affacts, namaly dua to transvarsa curvatura, dua to displacamant, and dua to intaraction of curvatura and displacamant. For tha solid wall all thraa sacond-ordar affacts incraasa tha shaar strass and this rasult incraasas with incraasing wall tamparatura. In tha casa of haat transfar, tha displacamant affact vanishas, tha intaraction affact is always positiva (incraasing tha haat transfar), and tha transvarsa curvatura affact is positiva for small wall tamparaturas and nagativa for larga wall tamparaturas. Tha affact of mass flow at tha wall is ganarally m tha axpactad diraction; i.a. tha injaction of mass thickans tha boundary layar and incraasas sacond-ordar affacts wharaas wall suction, by axtracting mass from tha boundary layar, raducas tha importanca of displacamant and transvarsa curvatura. An axcaption to tha ganaral rula statad abova occurs at high wall tamparaturas.