Klaus Th. Hess

AN EXTENSION OF PANJER'S RECURSION

Sundt and Jewell have shown that a nondegenerate claim number distribution Q = {q,}, ~ No satisfies the recursion qn+l=( a b + -h--~)q, for all n _> 0 if and only if Q is a binomial, Poisson or negativebinomial distribution. This recursion is of interest since it yields a recursion for the aggregate claims distribution in the collective model of risk theory when the claim size distribution is integer-valued as well. A similar characterization of claim number distributions satisfying the above recursion for all n >_ 1 has been obtained by Willmot. In the present paper we extend these results and the subsequent recursion for the aggregate claims distribution to the case where the recursion holds for all n >_ k with arbitrary k. Our results are of interest in catastrophe excess-of-loss reinsurance.

A comparison of models for the chain–ladder method ☆

Abstract The chain–ladder method is the most popular method of loss reserving. In its origin, it is nothing else than a heuristic and appealing algorithm. Because of the stochastic nature of the quantities to which the algorithm is applied, several authors have studied the question whether the chain–ladder method can be justified by a stochastic model and a statistical method related to the model. In the present paper we compare a variety of such models. The comparison results in a flow chart for model selection which may help to decide in a specific situation whether the chain–ladder method should be applied or not.

Optimal Premium Plans for Reinsurance with Reinstatements

The present paper is concerned with optimal premium plans for a reinsurance contract with reinstatements. In the reinsurance contract considered here, constant reinstatement premiums are due when the reinsurer’s loss exceeds certain bounds. For this reinsurance contract we examine the existence of a premium plan which minimizes the expected squared difference between the loss and the total premium income of the reinsurer. We show that an optimal premium plan exists, that it is unique, and that it satisfies the net premium principle.

Separation of small and large claims on the basis of collective models

Abstract This paper is inspired by two papers of Riegel who proposed to consider the paid and incurred loss development of the individual claims and to use a filter in order to separate small and large claims and to construct loss development squares for the paid or incurred small or large claims and for the numbers of large claims. We show that such loss development squares can be constructed from collective models for the accident years. Moreover, under certain assumptions on these collective models, we show that a development pattern exists for each of these loss development squares, which implies that various methods of loss reserving can be used for prediction and that the chain ladder method is a natural method for the prediction of future numbers of large claims.

18 Grundlagen und Formen der Risikoteilung

Werden Risiken nicht ganz sondern nur zum Teil ubernommen oder werden Teile ubernommener Risiken abgegeben, so spricht man von Risikoteilung. Risiken konnen dabei unter Versicherungsnehmern (VN) und Versicherungsunternehmen (VU), unter Erstversicherern (EV) und Ruckversicherern (RV) oder unter Ruckversicherern geteilt werden.

19 Auswirkungen der Risikoteilung

Wann ist welche Form der Risikoteilung zweckmasig? Wie soll der Selbstbehalt gewahlt werden? Wie ist bei nichtproportionaler Risikoteilung die Pramie zu bestimmen?

16 Anwendungsbezogene Fragen

Mit den Basisverfahren stehen vielfaltige Werkzeuge zur Reservierung bereit, und die erste Frage, die sich bei einem gegebenen Bestand stellt, ist sicherlich die, welches dieser Verfahren denn nun anzuwenden ist. Da die einzelnen Verfahren unterschiedliche Arten der Information verwenden, ist es in jedem Fall hilfreich, deren Einfluss auf die Pradiktoren zu untersuchen. Dabei erweist sich das Bornhuetter–Ferguson Prinzip als nutzlich und es kann herangezogen werden, um vielleicht nicht unbedingt ein bestimmtes Verfahren auszuwahlen, sondern um fur jede Zielgrose einen bestmoglichen Pradiktor zu finden und die mit diesem Pradiktor verbundene Unsicherheit einzuschatzen (Abschnitt 16.1).

Chain Ladder Method (Models)

In this article we present three sequential models in which assumptions are made on the first and second conditional moments of the cumulative losses, given the cumulative losses of older development years, and which justify the chain ladder method to a certain extent with regard to unbiasedness or optimality of the chain ladder predictors.

3 Kollektives Modell

In diesem Kapitel untersuchen wir den Gesamtschaden eines Bestandes unter der kollektiven Betrachtungsweise. Dabei sind nur die Schaden des Bestandes von Interesse, nicht aber die Risiken, die diese Schaden verursachen.

2 Individuelles Modell

In diesem Kapitel untersuchen wir den Gesamtschaden eines Bestandes unter der individuellen Betrachtungsweise. Dabei betrachten wir drei Stufen der Modellierung: Im individuellen Grundmodell wird keine Annahme an die gemeinsame Verteilung der jahrlichen Schadenhohen der einzelnen Risiken getroffen. Im individuellen Modell wird angenommen, dass die jahrlichen Schadenhohen der einzelnen Risiken unabhangig (und damit auch unkorreliert) sind. Im individuellen Modell fur einen homogenen Bestand wird angenommen, dass die jahrlichen Schadenhohen der einzelnen Risiken nicht nur unabhangig sondern auch identisch verteilt sind. Wir betrachten diese drei Stufen der Modellierung simultan, um die Auswirkungen der Verscharfung der Modellannahmen zu verdeutlichen.