Louis Tebou

Uniform boundary stabilization of the finite difference space discretization of the 1−d wave equation

AbstractnThe energy of solutions of the wave equation with a suitable boundary dissipation decays exponentially to zero as time goes to infinity. We consider the finite-difference space semi-discretization scheme and we analyze whether the decay rate is independent of the mesh size. We focus on the one-dimensional case. First we show that the decay rate of the energy of the classical semi-discrete system in which the 1−d Laplacian is replaced by a three-point finite difference scheme is not uniform with respect to the net-spacing size h. Actually, the decay rate tends to zero as h goes to zero. Then we prove that adding a suitable vanishing numerical viscosity term leads to a uniform (with respect to the mesh size) exponential decay of the energy of solutions. This numerical viscosity term damps out the high frequency numerical spurious oscillations while the convergence of the scheme towards the original damped wave equation is kept. Our method of proof relies essentially on discrete multiplier techniques.n

Stabilization of the elastodynamic equations with a degenerate locally distributed dissipation

We consider the dynamic elasticity equations with a locally distributed damping in a bounded domain. The local dissipation of the form a(x)yt involves coefficients a that vanish on a negligible portion of the subset where the damping is effective. Using multiplier techniques, interpolation inequalities, and a judicious application of Holder inequality, we prove sharp energy decay estimates. The results obtained generalize and improve on earlier works by Nakao, and the author in the framework of the ordinary wave equation.

On a regularized family of models for the full Ericksen–Leslie system

Abstract We consider a general family of regularized systems for the full Ericksen–Leslie model for the hydrodynamics of liquid crystals in n -dimensional compact Riemannian manifolds. The system we consider consists of a regularized family of Navier–Stokes equations (including the Navier–Stokes- α -like equation, the Leray- α equation, the Modified Leray- α equation, the Simplified Bardina model, the Navier–Stokes–Voigt model and the Navier–Stokes equation) for the fluid velocity u suitably coupled with a parabolic equation for the director field d . We establish existence, stability and regularity results for this family. We also show the existence of a finite dimensional global attractor for our general model, and then establish sufficiently general conditions under which each trajectory converges to a single equilibrium by means of a Lojasiewicz–Simon inequality.

Carleman Inequalities for Wave Equations with Oscillatory Boundary Conditions and Application

We consider the wave equation with mixed boundary conditions in a bounded domain; on one portion of the boundary, we have dynamic Wentzell boundary conditions, and on the other portion, we have hom...

Contrôlabilité exacte interne dans des domaines perforés avec une condition aux limites de Fourier sur le bord des trous

We consider the internal controllability of a generalized wave equation in a periodically perforated domain, with a Fourier type boundary condition on the boundary of the holes. First, we establish by the Hilbert uniqueness method, HUM, introduced by J.L. Lions, the existence of an exact control; afterwards, we prove that the sequence of controls weakly converges to a function which is the exact control of the homogenized system. We also prove a strong convergence result for the sequence of controls Introduction Nous considerons un probleme de controlabilite exacte dans un milieu perfore periodiquement par des trous de taille d’ordre e. Au bord des trous, nous choisissons une condition aux limites de Fourier. Nous etablissons pour e fixe des resultats de controlabilite exacte puis nous etudions le comportement limite de ce probleme quand la periode e tend vers zero; ceci signifie que nous combinons les aspects controlabilite exacte et homogeneisation. Rappelons quelques travaux anterieurs faisant intervenir ces deux aspects. Le premier resultat d’homogeneisation dans la theorie de la controlabilite exacte a ete etabli par J.L. Lions dans [8]. Dans son article, Lions considere la controlabilite exacte interne d’un systeme generalise des ondes avec des coefficients rapidement oscillants dans un domaine fixe. Puis Cioranescu et Donato [4] ont traite le meme sujet mais cette fois-ci dans un domaine perfore periodiquement de periode e avec la condition de Neumann homogene au bord des trous. Nous nous plac ons dans le meme cadre que [4] mais nous considerons le cas ou la condition aux limites au bord des trous est du type ∂ye ∂νAe + αeye = 0 ou α est un nombre reel positif ou negatif, ou μ > 1 et ou ∂/∂νAe est la derivee conormale associee a l’operateur Ae (qui sera defini dans la section 1). Nous demontrons d’abord un resultat de controlabilite exacte pour e fixe et α positif ou nul puis nous etablissons la convergence faible (resp. la convergence forte) de la suite des controles exacts vers ∗Corresponding author. 0921-7134/97/

Stabilization of the Wave Equation with Localized Nonlinear Damping

8.00 uf6d9 1997 – IOS Press. All rights reserved 194 J. Saint Jean Paulin and L.R. Tcheugoue Tebou / Controlabilite dans des domaines perfores le controle exact du systeme homogeneise. Ces resultats sont plus generaux que ceux de [4] parce que nous prenons le parametre α dans une classe plus large (ce qui nous empeche d’appliquer le resultat de compacite par compensation [11] dans le processus d’homogeneisation; voir le commentaire suivant la formule (A.15) de la section “Appendice”) et nous d emontrons un resultat de convergence forte de la suite des controles en plus du resultat de convergence faible. Enfin, nous etablissons que des resultats analogues aux precedents peuvent etre obtenus pour des valeurs negatives de α. Nos resultats principaux sont les Theoremes 2.2, 3.2, 4.4 et 5.2. 1. Description du probleme Soit Ω est un ouvert borne et regulier de RN , N > 2. L’ouvert Ω est perfore periodiquement par des trous de taille d’ordre e et de periode eY ou Y = ]0, 1[N est la cellule de reference. Soit S une partie ouverte de Y de classe C2 representant le trou. L’ensemble Se des trous contenus dans Ω est defini par Se = Ω ∩ ( ⋃ k∈ZN e(S + k) ) ; ainsi, les trous dans Ω sont construits a partir de S par homothetie et translation. On suppose que les trous ne coupent pas le bord de Ω. On designe par Y ∗ = Y S (resp. Ωe = ΩSe), la partie de Y (resp. Ω) correspondant au materiau. Etant donne un nombre reel strictement positif T et des fonctions y0 e et y 1 e , on considere le systeme suivant uf8f1uf8f4uf8f4uf8f2uf8f4uf8f4uf8f4uf8f4uf8f4uf8f3 y′′ e +Aeye = ve dans Ωe × ]0, T [ , ∂ye ∂νAe + αeye = 0 sur ∂Se × ]0, T [ , ye = 0 sur ∂Ω × ]0, T [ , ye(0) = y0 e dans Ωe, y′ e(0) = y 1 e dans Ωe (1.1) ou α et μ sont deux nombres reels avec μ > 1. L’operateur Ae et sa derivee conormale sont definis par: Ae = − ∂ ∂xi ( aij (x e ) ∂ ∂xj ) , ∂ ∂νAe = aij (x e ) ∂ ∂xj νi ou ν = (νi, 1 6 i 6 N) est la normale unitaire exterieure a Ωe et les coefficients aij , 1 6 i, j 6 N, verifient aij ∈ L∞(RN ), aij est Y -periodique, aij = aji, M = max 16i,j6N { ‖aij‖L∞(RN ) } ∃m > 0: aij(y)ξiξj > mξiξi ∀ξ = (ξi) ∈ R , p.p. y ∈ R . (1.2) Ici et dans la suite, nous utilisons de faco n syst ematique la convention de sommation sur les indices repetes. J. Saint Jean Paulin and L.R. Tcheugoue Tebou / Controlabilite dans des domaines perfores 195 Nous etudions le probleme suivant: si le nombre T et les valeurs initiales y0 e et y 1 e sont donnes, peut-on trouver un controle ve tel que la solution ye de (1.1) verifie, ye(T ; ve) = y′ e(T ; ve) = 0 dans Ωe? (1.3) Si oui quels sont les comportements limites de ve et ye quand e tend vers zero? Dans la Section 2, nous repondons positivement a la premiere question pour α positif en utilisant la methode HUM de J.L. Lions [9] et dans les Sections 3 et 4, nous etudions la deuxieme question toujours pour α positif. Dans la Section 5, nous nous occupons de ce qui se passe pour α strictement negatif. 2. Etude de la controlabilite exacte de (1.1) pour α > 0 Cette etude est guidee par la methode d’unicite hilbertienne, HUM, introduite par Lions dans [9]. Prenons {y0 e, y1 e} dans Ve × L(Ωe), ou Ve = { u ∈ H(Ωe); u = 0 sur ∂Ω } muni de la norme ‖φ‖Ve = ‖∇φ‖[L2(Ωe)]N ∀φ ∈ Ve. Considerons le systeme d’optimalite {φe, ψe} ou φe satisfait uf8f1uf8f4uf8f2uf8f4uf8f4uf8f4uf8f4uf8f4uf8f3 φ′′ e +Aeφe = 0 dans Ωe × ]0, T [ , ∂φe ∂νAe + αeφe = 0 sur ∂Se × ]0, T [ , φe = 0 sur ∂Ω × ]0, T [ , φe(0) = φe dans Ωe, φe(0) = φ 1 e dans Ωe (2.1) et ψe verifie uf8f1uf8f4uf8f4uf8f2uf8f4uf8f4uf8f4uf8f4uf8f4uf8f3 ψ′′ e +Aeψe = −φe dans Ωe × ]0, T [ , ∂ψe ∂νAe + αeψe = 0 sur ∂Se × ]0, T [ , ψe = 0 sur ∂Ω × ]0, T [ , ψe(T ) = 0 dans Ωe, ψ′ e(T ) = 0 dans Ωe. (2.2) La solution φe de (2.1) est caracterisee par le lemme suivant: Lemme 2.1. Lorsque {φe, φe} appartient a L(Ωe)× Ve, la solution φe de (2.1) verifie: φe ∈ C ( [0, T ];L(Ωe) ) ∩ C1 ( [0, T ];Ve ) . (2.3) De plus, il existe deux constantes strictement positives k1 et k2, independantes de e, telles que k1 {∥∥φ0e∥∥2L2(Ωe) + ∥∥φ1e∥∥2Ve′}1/2 6 ‖φe‖L2(0,T ;L2(Ωe)) 6 k2{∥∥φ0e∥∥2L2(Ωe) + ∥∥φ1e∥∥2Ve′}1/2. (2.4) 196 J. Saint Jean Paulin and L.R. Tcheugoue Tebou / Controlabilite dans des domaines perfores Preuve. La premiere partie du lemme est un resultat classique que l’on peut trouver dans [9, p. 133]. Pour etablir (2.4), on va regulariser le probleme (2.1) comme dans [4, p. 197]. Pour ce faire, introduisons χe ∈ Ve, solution du systeme uf8f1uf8f2uf8f4uf8f3 Aeχe = −φe dans Ωe, ∂χe ∂νAe + αeχe = 0 sur ∂Se, χe = 0 sur ∂Ω, (2.5)