Matheus da Silva Menezes

Um comparativo entre as execuções de implementações sequencial e paralela do método de Gauss-Jacobi

Os sistemas de equacoes lineares estao associados a muitos problemas nos campos da engenharia e da ciencia [4], mais de 75% dos problemas matematicos encontrados em aplicacoes cientificas e industriais envolvem a resolucao de sistemas lineares em algum estagio [5]. Os sistemas computacionais baseados em arquiteturas multicore sao uma realidade presente na computacao de alto desempenho e procuram melhorar o desempenho computacional na resolucao de problemas atraves do uso de varios processadores trabalhando em paralelo [3]. As mudancas introduzidas por arquiteturas desse tipo criaram a necessidade de desenvolver algoritmos que utilizem o hardware de forma mais eficiente [1]. Nesse sentido, o presente trabalho apresenta uma comparacao para o metodo Gauss-Jacobi para encontrar solucao de sistemas lineares de forma sequencial e paralela em Linguagem C e tambem uma comparacao com os resultados obtidos atraves do SciLab para os mesmos problemas, tambem objetivamos uma melhoria no tempo para execucao dos calculos. O metodo iterativo de Gauss-Jacobi pertence a classe dos metodos iterativos estacionarios sendo regidos por criterios de parada que controlam o processo de calculo da solucao do sistema. Considere a “i-esima” equacao pertencente a um sistema de n equacoes lineares: [...]

Aproximação de raízes de funções pelo uso de métodos numéricos paralelizados

No cotidiano profissional e cientifico, muitas vezes nos deparamos com situacoes onde necessitamos encontrar a raiz ou zeros de funcoes [1]. E possivel se chegar a tal solucao atraves de metodos diretos, porem, seu uso e limitado somente a funcoes cujo grau polinomial e menor ou igual a quatro. Para funcoes acima disso, devemos utilizar metodos iterativos, que mesmo nao alcancando a solucao exata, fornecem um resultado aproximado, com a precisao esperada pelo problema com o qual estamos lidando [2]. Devido a natureza dessas funcoes, nao e possivel determinar um unico metodo para a resolucao de todas elas. Mesmo um especialista com vasta experiencia pode nao ser capaz de decidir a melhor abordagem para um determinado problema, sem que mais de um desses metodos seja testado. Sendo assim, o uso de uma abordagem paralela pode fornecer uma alternativa mais eficiente na determinacao do metodo mais apropriado para funcao a qual estamos trabalhando. Diante disso, este trabalho propoe uma abordagem que utiliza paralelismo e os metodos numericos Bissecao [1], Falsa Posicao [1], Newton [1] e Secante [1] para encontrar de maneira eficiente zeros de funcoes transcendentes. 1. Abordagem Numerica Paralela O algoritmo proposto neste trabalho utiliza nocoes de teoria dos jogos especificamente teoria da escolha racional onde aplicada uma logica (resolucao por metodos diferentes) a premissas dadas (numero maximo de iteracoes e a precisao estabelecida) [3], com processos que competem entre si, para determinar o mais rapido. Cada processo utiliza um metodo distinto para encontrar o zero de uma funcao qualquer e aquele que for o vencedor, ou seja, o processo que primeiro convergir, sera consequentemente o mais apropriado para a funcao analisada. Tambem compramos os resultados para solucoes de forma paralela e de forma sequencial. Existem cinco processos atuando no algoritmo. O processo 0 e chamado Master, sua funcao e coordenar o trabalho dos demais processos chamados Slaves ou Worker[4], sendo que o termo utilizado neste trabalho sera Slave. Cada Slave procura a raiz da funcao proposta, por meio de um dos quatro metodos escolhidos. O processo de convergencia e atingido atraves dos seguintes passos: I. O Master garante que todos os processos sejam iniciados por meio de uma rotina que cria uma barreira logica, a qual todos os processos devem atingir, antes que o processamento realmente tenha inicio, funcionando assim como uma linha de largada. II. A partir de entao os Slaves entram em loop, procurando o zero da funcao analisada. III. Quando um dos processos encontra a raiz ele envia uma mensagem para o mestre e entao termina seu laco de execucao. Assim que o Master recebe a mensagem ele envia uma mensagem para os demais Slaves, informando que eles tambem devem parar de realizar calculos, pos a raiz ja foi encontrada. IV. Caso todos os processos atinjam o numero maximo de iteracoes sem que a raiz seja encontrada, dizemos que a funcao analisada nao convergiu para nenhum dos processos. A seguir verificaremos os resultados obtidos para analise de algumas funcoes, quando colocamos um algoritmo sequencial versus um algoritmo paralelo. Todos os testes foram realizados em um computador com Processador Core i5 2a Geracao e 4 Gb RAM, Windows 8, escrita em linguagem C e compilado no Microsoft Visual Studio 2013. [...]