Michael R. Stein

Relativizing functors on rings and algebraic K-theory

is exact. Moreover it is clear from the anticipated applications that F(A, q) should depend functorially on the pair (A, q) and that the left-hand arrow should not, in general, be injective. Such relative groups have been defined, ad hoc, for many such functors F [1 , 2, 61. In this paper, we will describe a uniform xvay to define such relative groups which has the pleasant property of making certain theorems about these groups formal consequences of the corresponding theorems for the case (1 =: A-the “absolute” case. This construction and its formal properties are discussed in Section 1. In Section 2 we show that this construction yields the relative groups as previously defined for a variety of functors in algebraic K-theory. We also prove that various hypotheses on A carry over to certain rings constructed from A which are used in Section 1. Finally, in Section 3 we give examples of theorems of algebraic K-theory whose relative versions, using the theory of Sections 1 and 2, follow formally from their absolute versions.

Injective stability for

It has been conjectured for some time [St2], [D], [S-D], [D-S2] that for a semilocal ring R, the homomorphisms On:K2(n, R)-+K2(n + l, R), known to be surjective for all n^.2 [St2], [S-D], are in fact isomorphisms for n^.3. Various special cases have been proved, most notably the difficult theorem of Matsumoto for fields [Ma, Corollaire 5.11] and the case of discrete valuation rings [D-Sl]. Matsumoto also shows that 62 is not an isomorphism in general. In this note we announce the proof of the following theorem, details of which will be published elsewhere. Unexplained notation and terminology is that of [Mi].

K_2

[G]) which can be used both for specific computations and to prove general theo- rems for certain classes of groups [D, St2]. In collaboration with Oliver we have greatly extended the power of our computational methods; the results of all computations as well as the ad- ditional methods leading to them will appear in the sequel [A-D-O-S] to this paper in a future issue of Inventiones. There we derive a very efficient algo- rithm for computing

of local rings

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