Moritz Epple

Knot Invariants in Vienna and Princeton during the 1920s: Epistemic Configurations of Mathematical Research

In 1926 and 1927, James W. Alexander and Kurt Reidemeister claimed to have made “the same” crucial breakthrough in a branch of modern topology which soon thereafter was called knot theory. A detailed comparison of the techniques and objects studied in these two roughly simultaneous episodes of mathematical research shows, however, that the two mathematicians worked in quite different mathematical traditions and that they drew on related, but distinctly different epistemic resources. These traditions and resources were local, not universal elements of mathematical culture. Even certain common features of the main publications such as their modernist, formal style of exposition can be explained by reference to particular constellations in the intellectual and professional environments of Alexander and Reidemeister. In order to analyze the role of such elements and constellations of mathematical research practice, a historiographical perspective is developed which emphasizes parallels with the recent historiography of experiment. In particular, a notion characterizing those “working units of scientific knowledge production” which Hans-Jörg Rheinberger has termed “experimental systems” in the case of empirical sciences proves helpful in understanding research episodes such as those bringing about modern knot theory.

Das bunte Geflecht der mathematischen Spiele

ZusammenfassungDer Vergleich der Mathematik mit Regelspielen wie dem Schachspiel war zwischen 1880 und 1930 Gegenstand lebhafter Debatten zwischen Mathematikern und Philosophen. Es beteiligten sich u.a. P. du Bois-Reymond, H. v. Helmholtz, J. Thomae, G. Frege, E. Husserl, H. Weyl und L. Wittgenstein. Diese Debatten werden im folgenden skizziert. Es wird gezeigt, daß in ihrem Verlauf einige für das Selbstverständnis der mathematischen Moderne und für die Philosophie der Mathematik des 20. Jahrhunderts grundlegende Themen zur Sprache kamen und wie sich daraus allmählich ein neues Verständnis des mathematischen Handelsn entwickelte. Anschließend wird diskutiert, was dieses Verständnis zur Historiographie der modernen Mathematik beitragen könnte.

CHAPTER 11 – Geometric Aspects in the Development of Knot Theory

§ 1. Among the most widely noticed achievements of knot theory are certainly the famous knot tables produced by the Scottish tabulating tradition in the late 19th century, the polynomial invariant invented by James W. Alexander in the 1920s, and the series of new polynomial invariants that came into existence after Vaughan F. Jones discovered a new knot polynomial in 1984. It might seem that these results easily fit into a story centered around plane knot diagrams, symbolical codings of such diagrams and the operations one can perform with them, and combinatorial techniques to draw conclusions from the information that is thereby encoded.^ In this contribution, I will first outline such a narrative and then show that it fails to account for important causal and intentional links in the fabric of events in which these achievements were produced. Indeed, a striking feature of knot theory is that, even if a significant number of its results may be stated and proved in a direct, combinatorial fashion, the research that produced those results was often motivated by and directed toward geometric considerations of varying complexity. In many cases, these geometric ideas alone provided the links to other topics of serious mathematical interest and thus could induce mathematicians to devote their time to knots. Moreover, only by taking into account the surrounding geometric aspects can historians reach a position from which they may judge the relations between the steps in the formation of knot theory and the broader mathematical and scientific culture in which these steps were taken. These relations form part of the causal weave that needs analysis in order to attain a historical understanding of Taits, Alexanders, or Joness results.

Did Brouwer’s Intuitionistic Analysis Satisfy Its Own Epistemological Standards?

The aim of this essay is both historical and philosophical. On the histori. level, the following remarks are intended to contribute to a better understanding of the missing reception of the more advanced parts of Luitzen E. J. Brouwer’s intuitionistic mathematics. More precisely, I want to draw attention to a crucial technical difficulty in Brouwer’s treatment of the basic theorems of intuitionistic analysis. It concerns the (intuitionistic) proof of what Brouwer viewed as one of the cornerstones of intuitionistic set theory, the “fan theorem,” as it is often called today. This difficulty most probably presented a serious obstacle to contemporary attempts to understand Brouwer’s contributions. On the philosophical level, I cannot do much more than raise the question formulated in the title of this essay. However, this question will be made more precise by focusing on the epistemology of the technical issue just mentioned. It turns out that in this discussion also the general problem of what constitutes an intuitionistic proof is at stake.

Der Praktische Umgang Mit Knoten und die Anfänge der Analysis Situs

In diesem Kapitel werden zwei wichtige Voraussetzungen der Mathematisierung des Knotenproblems beschrieben. Zunachst gehe ich auf verschiedene Formen des Wissens ein, das in menschlichen Kulturen uber verschlungene Faden und Linien gesammelt wurde, lange bevor irgend jemand an eine mathematische Behandlung solcher Dinge dachte (2.1). Anschliesend stelle ich dar, wie im 18. Jahrhundert eine Reihe von Mathematikern damit begannen, dem Knotenproblem verwandte Probleme zu mathematisieren, und wie dadurch auch der Boden fur eine mathematische Behandlung verschlungener Kurven im Raum bereitet wurde (2.2).

Poincarésche Räume, Knoten, Gruppen: Max Dehn

Wahrend Heinrich Tietze an seiner Habilitationsschrift arbeitete, dachte Max Dehn weiter uber topologische Fragen nach. Wie Wirtinger und Tietze sties auch er dabei auf Knoten. Allerdings kam es zwischen den Wiener Mathematikern und Dehn zunachst nur zu einem punktuellen Kontakt — beide arbeiteten in verschiedenen hegemonialen Bereichen, wie in den letzten beiden Kapiteln bereits deutlich geworden ist. Auch das Ziel von Dehns Arbeit war anfanglich ganz verschieden von dem Tietzes. Wahrend dieser das durch Poincare umrissene Feld der Topologie zu systematisieren suchte und dabei unter anderem das durch Wirtingers funktionentheoretische Arbeiten entstandene Wissen einarbeitete, hoffte Dehn ein ganz spezielles Problem zu losen, das Poincares Arbeiten offengelassen hatten: die topologische Charakterisierung des „gewohnlichen Raumes“ bzw. der dreidimensionalen Sphare. Es sollte ihm nicht gelingen. Stattdessen wurde er auf eine neue Konstruktionstechnik fur dreidimensionale Mannigfaltigkeiten gefuhrt, in welcher Knoten die entscheidende Rolle spielten. Das Studium dieser Mannigfaltigkeiten fuhrte Dehn sowohl auf eine Reihe von Aussagen uber Knoten als auch auf einige sehr fundamentale Probleme der kombinatorischen Gruppentheorie. Wahrend Dehns entsprechende Arbeiten nur einige recht spezielle Fragen definitiv losten, warfen sie neue Fragenkomplexe auf, von denen sich in der Folge zeigte, das sie zu den tiefsten sowohl der dreidimensionalen Topologie als auch der kombinatorischen Gruppentheorie des 20. Jahrhunderts gehorten. Insbesondere ist bis heute nicht geklart, ob der von Dehn eroffnete Weg zur Bearbeitung der Poincareschen Vermutung nicht doch zu ihrer Entscheidung fuhren konnte.

Der Anbruch Der Mathematischen Moderne und die Disziplinäre Schwelle Der Topologie

Vandermonde verdiente sich seinen Lebensunterhalt zeitweise als Direktor des Pariser Musee des arts et des metiers, Gaus als Direktor der Gottinger Sternwarte. Thomson, Maxwell und Tait arbeiteten als Experimentalphysiker in Labors und als mathematische Physiker an ihrem Schreibtisch. Die Mathematik, die im folgenden betrachtet wird, stammt in aller Regel aus den Handen von Universitatsprofessoren der Mathematik, die in einem wohlorganisierten System wissenschaftlicher Arbeitsteilung ihr Geld verdienten. Von Vandermonde bis Tait stand fest, das die Mathematik der Verkettungen und Knoten es mit Gebilden des Raumes der alltaglichen Erfahrung zu tun hatte; von der Jahrhundertwende an wurden Knoten mehr und mehr Objekte in mathematischen Raumen, deren Beziehung zum „wirklichen“ Raum der Erfahrung nur indirekt hergestellt werden konnte, selbst wenn es sich um den „gewohnlichen“ ℝ3 handelte. „Knoten“ in hoherdimensionalen Mannigfaltigkeiten tauchten als neue epistemische Objekte auf, und Techniken zu ihrer Behandlung wurden entwickelt, die fur die Wissenschaftler des 19. Jahrhunderts kaum verstandlich gewesen waren. Demgegenuber finden heutige Leserinnen und Leser in den knotentheoretischen Texten des fruhen 20. Jahrhunderts zum ersten Mal eine mehr oder weniger vertraute Sprache, nachvollziehbare Begriffsbildungen und uberzeugende Beweise.

Ein Erstes Paradigma? Knotentheorie Nach 1930

Nachdem Reidemeisters, Artins und Schreiers gruppentheoretische Beitrage einerseits und die homologischen Methoden von Alexander und Briggs andererseits gezeigt hatten, wie berechenbare und erstaunlich aussagekraftige Invarianten von Knoten und Verkettungen konstruiert werden konnten, schienen die Aussichten fur den Aufbau einer selbstandigen Knotentheorie vielversprechend. Dies galt umso mehr, als Reidemeisters und Alexanders Untersuchungen beide nahelegten, Knoten in jener elementaren, kombinatorisch orientierten epistemischen Konfiguration zu studieren, deren Entstehung in den letzten beiden Kapiteln beschrieben wurde. Das neue Gebiet war dadurch fur junge Mathematiker leicht zuganglich, viele einfach zu formulierende Probleme schienen mit modernen, strengen Methoden angreifbar, ohne das umstandlich Vorkenntnisse in anderen Gebieten erworben werden musten. Andererseits boten fur die tiefer Eingeweihten die Untersuchungen Dehns und Alexanders uber den Zusammenhang von Knoten und dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten sowie die auf Wirtinger zuruckgehende Verknupfung der Knotentheorie mit der Untersuchung der Singularitaten algebraischer Funktionen attraktive Zusammenhange, welche die Knotentheorie auch in einer umfassenderen mathematischen Perspektive zu einem interessanten Gebiet machten.

Berechenbare Invarianten und Elementare Begründung: Kurt Reidemeister

Nach dem ersten Weltkrieg muste der Faden der mathematischen Beschaftigung mit Knoten neu aufgenommen werden. Wie im letzten Kapitel bereits erwahnt, waren es dabei zunachst Dehns Arbeiten, die von den Mathematikern wahrgenommen wurden. Ein charakteristisches Zeugnis dafur, wie weitgehend unsichtbar die Wiener Beitrage zu geworden waren, gibt ein knapper Kommentar Oswald Veblens, der zu den ersten Mathematikern in den Vereinigten Staaten zahlte, die sich ernsthaft fur die Topologie zu interessieren begannen. In seinen 1922 als Buch erschienenen Cambridge Colloquium Lectures on Analysis Situs schrieb Oswald Veblen zum Thema der Knoten: „A large number of types of knots have been described by Tait and others and a list of references may be found in the Enzyklopadie article on Analysis situs. But a more important step towards developing a theory of knots was taken by M. Dehn, who introduced the notion of the group of the knot, which is essentially the group of the generalized three-dimensional complex obtained by leaving out the knot from the three-dimensional space. Dehn gave a method for obtaining the group of a knot explicitly and applied it to the construction of [...] Poincare spaces [...].“ (Veblen 1922, 150.)

Ätherwirbel, Knoten und Atome

In diesem und dem folgenden Kapitel verfolge ich den Weg der Mathematisierung von Knoten und verschlungenen Kurven im Kontext der britischen mathematischen Physik der zweiten Halfte des 19. Jahrhunderts. Fur einen Zeitraum von ungefahr zwanzig Jahren, zwischen 1867 und etwa 1886, gelangten topologische Ideen und Knoten ins Zentrum einer physikalischen Spekulation uber den mikroskopischen Aufbau der Materie. Diese Spekulation bildete den ausschlaggebenden Hintergrund fur die ersten intensiven Bemuhungen um eine Klassifikation der verschiedenen Knotenformen. Daruber wird im nachsten Kapitel berichtet. Zuvor mus jedoch erlautert werden, wie es uberhaupt zu dieser Entwicklung kam. Dazu sind zunachst einige Worte uber die dynamischen Theorien fuhrender britischer Physiker dieser Zeit notig. Danach gehe ich auf einen 1858 erschienenen Aufsatz von Hermann v. Helmholtz ein, in welchem (unter anderem) Riemanns topologische Ideen in die Hydrodynamik und damit in die fundamentale dynamische Theorie der Zeit eingebracht wurden (4.1). Die Rezeption dieses Aufsatzes durch Peter Guthrie Tait und William Thomson fuhrte dann im Jahr 1867 zum Beginn der genannten atomtheoretischen Spekulation (4.2). Bei der Bearbeitung der dadurch aufgeworfenen mathematischen und insbesondere topologischen Fragen durch Thomson und James Clerk Maxwell kam es dann auch zur expliziten Formulierung des Problems der Knotenklassifikation (4.3). Ich schliese das Kapitel mit einer Zusammenfassung der weiteren Entwicklung der brillanten, letzten Endes aber erfolglosen Atomtheorie Thomsons.1