Oliver Gloor

A case study of multi-threaded Gröbner basis completion

We investigate sources of parallelism in the Grobner Basis algorithm for their practical use on the desk-top. Our execution environment is a standard multi-processor workstation, and our parallel programming environment is PARSAC-2 on top of a multi-t breaded operating system. We invest igate the performance of two main variants of our master parallel algorithm on a standard set of examples. The first version exploits only work parallelism in a strategy compliant way. The second version investigates search parallelism in addkion, where large super-linear speedups can be obtained. These speedups are due to improved S-polynomial selection behavior and therefore camy over to single processor machines. Since we obtain our parallel variants by a controlled variation of only a few parameters in the master algorithm, we obtain new insights into the way in which different sources of parallelism interact in Grobner Basis completion.

On the walk

Abstract The Grobner Walk is a basis conversion method proposed by Collart, Kalkbrener, and Mall. It converts a given Grobner basis G of a (possibly positive dimensional) polynomial ideal I to a Grobner basis G′ of I with respect to another term order. The target Grobner basis is approached in several steps (the Walk), each performing a simpler Grobner basis computation. We address a host of questions associated with this method: alternative ways of presenting the main algorithm, algorithmic variations and refinements, implementation techniques, promising applications, and its practical performance, including a comparison with the FGLM conversion method. Our results show that the Walk has the potential to become a key tool for computing and manipulating ideal bases and solving systems of equations.

Approaches to parallel quantifier elimination

Special-purpose quanti er elimination procedures for problems of low degree using virtual substitution of test terms have recently turned out to be applicable to a variety of non-trivial non-academic problems. We study parallel algorithms based on these methods for several parallelization environments: a Cray YMP4/T3D, a workstation cluster, and a multi-processor Sparc. Our implementations show remarkable though sublinear speed-ups in all these environments.

Visualizations for mathematics courses based on a computer algebra system

Abstract This paper discusses the introduction of a computer-algebra system to perform visualizations in mathematics education. With the Illustrated Mathematics project, we provide a comprehensive collection of graphics and animations for various topics in mathematics, which can directly be used for teaching. Because the programs (written in Mathematica ) we used for the creation of this collection are included, it is easy to design new examples by modifying parameters in existing examples. Therefore, Illustrated Mathematics can be used as a first step of the introduction of a computer-algebra system in mathematics education. In the second part, we report on the development of a workbench and learning environment, with which the students can discover the mathematical concepts by themselves. For that, the given examples have to be didactically enriched and processed. By creating their own visualizations of increasing complexity, the students improve their knowledge about the underlying computer-algebra system.

Analysis Alive—an Integrated Learning Environment for Higher Mathematics

We give an overview of Analysis Alive, a learning environment for Analysis at the level of a first year course at a German university. Analysis Alive is a traditional textbook in combination with a CD-ROM containing graphics and animations realized with Maple worksheets. The goals of our project are to introduce the component of experimentation with visual feedback into the teaching and learning of Analysis. Although Analysis Alive is based on the use of computers and Computer Algebra Systems, it requires only minimal knowledge of computers and computer algebra systems.

Funktionen mehrerer Veränderlicher — eine Einführung

Wir haben nun das notige Handwerkszeug, um wie im Kapitel 3 Grenzwert, Stetigkeit und gleichmasige Stetigkeit behandeln zu konnen. Wir schauen uns Typen von Funktionen mehrerer Veranderlicher an und behandeln Grenzwerte von Funktionswerten. Die wichtigste Anwendung hiervon ist die Stetigkeit Neben der gleichmasigen Stetigkeit fuhren wir zusatzlich die Lipschitz-Stetigkeit ein, die fur die Theorie der linearen Abbildungen und fur die Numerik wichtig ist Losungen von Gleichungen zum Beispiel findet man mit dem Banach’schen Fixpunktsatz, dem ein einfaches Iterationsverfahren zugrunde liegt Im letzten Abschnitt behandeln wir die gleichmasige Konvergenz von Folgen von Funktionen.

Differentialrechnung in ℝp

Wir fuhren zunachst Kurven, ihre Tangenten und — im Fall von Kurven im Raum — deren Krummung und Windung ein. Damit konnen wir Richtungsableitungen und speziell partielle Ableitungen fur Funktionen mehrerer Veranderlicher erklaren. Dies gibt Anlas zum Begriff der totalen Ableitung. Wir behandeln dann die mehrdimensionale Variante des Mittelwertsatzes, hohere Ableitungen und den mehrdimensionalen Satz von Taylor einschlieslich der Bestimmung von Extremalstellen und Extremwerten. Vor allem nichtlineare Gleichungssyteme fuhren auf den Satz uber die lokale Umkehrbarkeit von Abbildungen und auf den Satz uber implizite Funktionen. Dieser erlaubt die Behandlung von Extremwertbestimmungen unter Nebenbedingungen.

Folgen und Reihen

Wir fuhren unendliche Folgen ein. Die Glieder einer Folge konnen sich an mehreren Stellen auf der Zahlengeraden haufen. Folgen konnen konvergieren. Beschrankte Folgen haben immer eine konvergente Teilfolge. Unendliche Reihen sind eine Sonderform von Folgen, die in allen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle spielen.

Einführung in die reellen Funktionen

In diesem Kapitel fuhren wir reelle Funktionen ein. Dann studieren wir Grenzwerte von Funktionswerten. Wir fuhren diesen Begriff auf den einer konvergenten Folge zuruck. Die Stetigkeit einer Funktion (in einem Punkt) ist der Spezialfall des Grenzwertes von Funktionswerten. Fur stetige Funktionen gelten wichtige Satze wie zum Beispiel der Zwischenwertsatz und der Satz von den Extremwerten auf kompakten Intervallen. Wir bringen eine unter anderem von den Anwendungen in der Technik her motivierte Verfeinerung des Begriffs der Stetigkeit, die gleichmasige Stetigkeit. Schlieslich behandeln wir die gleichmasige Konvergenz von Folgen von Funktionen. Potenzreihen zum Beispiel sind gleichmasig konvergent auf jedem Intervall [a, b], das ganz in ]— R,R[ liegt, wobei R der Konvergenzradius ist.

Integration in ℝp

Eine Motivation fur die Integrationstheorie im ℝ2 ist das Anliegen, die Volumina von krummflachig begrenzten Korpern im ℝ3 zu berechnen. Bei einem senkrecht auf der Ebene stehenden Quader ist das Volumen gleich Grundflache mal Hohe. Daraus ergibt sich das Volumen von (raumlichen) Balkendiagrammen als Integral von Treppenfunktionen in ℝ2. Korper, die unterhalb einer beliebigen Flache (genauer: unter dem Graphen einer Funktion) liegen, werden durch Treppenfunktionen approximiert, das Volumen solcher Korper also durch die Folge der Integrale dieser Treppenfunktionen. Entsprechend kann man Volumina von„Korpern“ in ℝ P+1 durch Integration uber Quader (oder allgemeinere Bereiche) im ℝ p erhalten. Integrale werden durch iterierte Integration oder auch gegebenenfalls durch Transformation auf passendere Koordinaten berechnet.