Rainer Ansorge

WHAT DOES THE ENTROPY CONDITION MEAN IN TRAFFIC FLOW THEORY

Mathematical models of freeway traffic flow do not include models of the drivers ride impulse (e.g. of the fact that drivers really start if a traffic light switches form red to green). Moreover, the occurrence of shocks leads to the necessity to deal with weak solutions of mathematical models, as far as models formulated in terms of conservation laws are concerned. But the transition from a classic conservation law differential equation to its weak formulation leads to a loss of uniqueness of the solution. This also happes in gas dynamics where an entropy condition was additionally introduced in order to pick out the physically true solution. In this paper, it will be pointed out that this entropy condition can also be used in traffic flow theory as a uniqueness criterion, and that it is - strangely enough - the missing mathematical model of the ride impulse. These ideas are exemplified in case of the Lighthill-Whitham model which so seems to become again an up-to-date model that can numerically be treated by means of very effective numerical procedures such as TVD methods.

Connections between the Cimmino-method and the Kaczmarz-method for the solution of singular and regular systems of equations

Recently the method of Kaczmarz for the solution of linear equations became interesting again. This method converges always to a solution provided that at least one solution exists. Also the method of Cimmino converges (almost) always but shows some disadvantages. A modification of the Cimmino-method is presented which makes it as interesting as the Kaczmarzmethod. In certain cases, the new method is even faster.ZusammenfassungIn jüngster Zeit erfuhr, das Verfahren von Kaczmarz zur Lösung linearer Gleichungssysteme wieder ein stärkeres Interesse. Es konvergiert stets gegen eine Lösung, sofern wenigstens eine Lösung existiert. Auch das Verfharen von Cimmino konvergiert (fast) immer, zeigt jedoch einige Nachteile. Eine Abänderung des Cimmino-Verfahrens wird vorgestellt, die es dem Kaczmarz-Verfahren in gewissem Umfange ebenbürtig macht. Gelegentlich ist es sogar schneller.

Set-valued collectively compact operators and applications to set-valued differential equations

Recent theorems on sequences of collectively compact operators which approximate the operator of a given fixed point problem are generalized to set-valued operators. By means of these theorems, not only an easy access to some recent results with respect to the numerical treatment of set-valued initial value problems (p. e. arising from initial value problems with discontinuous right-hand-side) can be given, but also an access to the numerical treatment of set-valued boundary value problems (p. e. arising from physical systems with constraints) is presented.ZusammenfassungNeuere Sätze über Folgen kollektiv-kompakter Operatoren, die den Operator einer gegebenen Fixpunktaufgabe approximieren, werden auf mengenwertige Operatoren verallgemeinert. Mittels dieser Sätze ergibt sich nicht nur ein übersichtlicher Zugang zu, neueren Aussagen im Zusammenhang mit der numerischen Behandlung mehrwertiger Anfangswertaufgaben (etwa bei Anfangswertaufgaben mit unstetiger rechter Seite), sondern es wird auch ein Zugang zur numerischen Behandlung mehrwertiger Randwertaufgaben (z. B. bei physikalischen Systemen mit Zwangskräften) eröffnet.

Extension of an Abstract Theory of Discretization Algorithms to Problems with only Weak and Non-Unique Solutions

Assume J to be an index set and X to be a metric space. Let Y be a metric space, too, {a(φ)|φ ∈ J} ⊂ Y a given set and {A(φ)|φ ∈ J} a set of operators each of which maps \(D = \bigcap\limits_{\phi \in J} {D(A(\phi ))} \subset X\) into Y ; (D(A(φ)) : Domain of A(φ)). Consider the problem: Find x ∈ X such that

Mathematical Models of Fluid Dynamics

D = \bigcap\limits_{\phi \in J} {D(A(\phi ))} \subset X

Recent Developments in the Numerics of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws and their Use in Science and Engineering

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Recent Developments in the Numerics of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws: Lectures Presented at a Workshop at the Mathematical Research Institute Oberwolfach

Convergence theorems for cyclic methods have been proved in the case of globally Lipschitz-continuous right-hand-sidesg for the differential equationy′=g(t, y). In the present paper it is shown that this strong restriction can be omitted. Moreover, a new definition for consistency of cyclic methods is pressented. The consistency conditions are weaker than the classical ones in the case of real cyclic methods (m>1). This leadsbesides order-of-convergence-arguments — to an additional motivation for the construction of cyclic methods, since more coefficients will be available for fitting other purposes and more methods can be shown to be convergent. Examples are given.ZusammenfassungKonvergenzsätze für zyklische Verfahren liegen vor, sofern die rechte Seite der Differentialgleichungy′=g(t, y) global Lipschitz-beschränkt ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß man sich von dieser stark einschränkenden Bedingung weitgehend befreien kann. Überdies wird eine neue Definition für die Konsistenz zyklischer Verfahren eingeführt. Die hier angegebenen Konsistenzbedingungen sind im Falle echt zyklischer Verfahren (m>1) schwächer als die klassischen Konsistenzforderungen. Neben Verfahrensordnungsargumenten ergibt sich dadurch eine zusätzliche Begründung für die Konstruktion zyklischer Verfahren, denn es werden mehr Koeffizienten zur Anpasung an andere Zwecke frei. Außerdem kann die Konvergenz weiterer Verfahren gezeigt werden. Beispiele werden angegeben.