Rainer Dyckerhoff

Zonoid Data Depth: Theory and Computation

A new notion of data depth in d-space is presented, called the zonoid data depth. It is affine equivariant and has useful continuity and monotonicity properties. An efficient algorithm is developed that calculates the depth of a given point with respect to a d-variate empirical distribution.

Exact computation of the halfspace depth

For computing the exact value of the halfspace depth of a point w.r.t. a data cloud of n points in arbitrary dimension, a theoretical framework is suggested. Based on this framework a whole class of algorithms can be derived. In all of these algorithms the depth is calculated as the minimum over a finite number of depth values w.r.t. proper projections of the data cloud. Three variants of this class are studied in more detail. All of these algorithms are capable of dealing with data that are not in general position and even with data that contain ties. As is shown by simulations, all proposed algorithms prove to be very efficient.

Orthant orderings of discrete random vectors

Abstract We investigate four orthant stochastic orderings between random vectors X and Y that have finitely discrete probability distributions in R k. They have applications to multiattribute decision under risk, dependency of random vectors, and the statistical comparison of two k-variate samples. For each of the orderings we present conditions that are necessary and sufficient for dominance of Y over X. Given their distributions numerically, these conditions can be checked in an efficient way.

Computing zonoid trimmed regions of bivariate data sets

In data analyis an important task is to identify sets of points that are central in a data set {x1, …, xn} ⊂ ℝd A set of points that is central in some sense is called a trimmed region. In the univariate case a trimmed region is, e.g., the closed interval between two proper quantiles. Nolan (1992) and Masse and Theodorescu (1994) introduced concepts of trimmed regions, based on a multivariate analogue of the quantile function, suggested by Tukey (1975) and Eddy (1983). These concepts can be seen as generalizations of the univariate interquantile intervals.

Weighted-mean trimming of multivariate data

A general notion of trimmed regions for empirical distributions in d-space is introduced. The regions are called weighted-mean trimmed regions. They are continuous in the data as well as in the trimming parameter. Further, these trimmed regions have many other attractive properties. In particular they are subadditive and monotone which makes it possible to construct multivariate measures of risk based on these regions. Special cases include the zonoid trimming and the ECH (expected convex hull) trimming. These regions can be exactly calculated for any dimension. Finally, the notion of weighted-mean trimmed regions extends to probability distributions in d-space, and a law of large numbers applies.

Stochastic dominance with nonadditive probabilities

Choquet expected utility which uses capacities (i.e. nonadditive probability measures) in place ofσ-additive probability measures has been introduced to decision making under uncertainty to cope with observed effects of ambiguity aversion like the Ellsberg paradox. In this paper we present necessary and sufficient conditions for stochastic dominance between capacities (i.e. the expected utility with respect to one capacity exceeds that with respect to the other one for a given class of utility functions). One wide class of conditions refers to probability inequalities on certain families of sets. To yield another general class of conditions we present sufficient conditions for the existence of a probability measureP with ∝f dC=∝ f dP for all increasing functionsf whenC is a given capacity. Examples includen-th degree stochastic dominance on the reals and many cases of so-called set dominance. Finally, applications to decision making are given including anticipated utility with unknown distortion function.

Determinanten und Eigenwerte von Matrizen

Jeder quadratischen Matrix wird eine Zahl, ihre Determinante, zugeordnet. Determinanten von Matrizen haben vielfaltige Anwendungen. Determinanten werden im Folgenden benotigt, um die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix zu bestimmen. Auserdem lassen sich die hinreichenden Bedingungen fur Extrema einer Funktion mit und ohne Nebenbedingungen mit Hilfe von Determinanten beschreiben. Eigenwerte und Eigenvektore einer Matrix haben vielfaltige Anwendungen. Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Analyse von Input-Output-Modellen, in der multivariaten Statistik im Rahmen der Hauptkomponenten- bzw. Faktoranalyse, in der Zeitreihenanalyse bei den sogenannten vektorautoregressiven Modellen sowie bei der Untersuchung von Systemen von linearen Differential- bzw. Differenzengleichungen.

Folgen und Reihen

In diesem Kapitel werden zunachst Folgen reeller Zahlen betrachtet und Kriterien fur ihre Konvergenz angegeben. Dann untersuchen wir die Konvergenz von Reihen. Mit Hilfe der geometrischen Reihe werden Formeln der Finanzmathematik hergeleitet. Im Weiteren betrachten wir den wichtigen Begriff der Stetigkeit von Funktionen und diskutieren die wichtigsten Eigenschaften stetiger Funktionen.

Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen

In diesem Kapitel bestimmen wir mit Hilfe der Differentialrechnung Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variablen. Die folgenden Abschnitte behandeln nacheinander die Bestimmung von Extrema im Innern des Definitionsbereichs, am Rand des Definitionsbereichs, und unter Nebenbedingungen. Im Innern des Bereichs werden lokale Maxima und Minima ahnlich wie bei Funktionen einer Variablen durch die beiden ersten Ableitungen der Funktion charakterisiert. Die Suche nach Extrema auf dem Rand erfordert spezielle Uberlegungen. Maxima und Minima unter Gleichungsnebenbedingungen werden mit der Lagrange-Methode oder der Eliminationsmethode bestimmt. Fur allgemeine Optimierungsprobleme, die neben Gleichungs- auch Ungleichungsnebenbedingungen enthalten, verwendet man zur Bestimmung von Extrema die sogenannten Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen.

Summen und Produkte

Formeln, in denen Summen vorkommen, lassen sich haufig ubersichtlicher schreiben und einfacher umformen, indem man eine abkurzende Schreibweise fur die Summen verwendet. Dabei werden die Summanden mit Hilfe eines Index beschrieben, der bestimmte Werte durchlauft. Die Summe wird durch das Summenzeichen, ein groses griechisches Sigma, symbolisiert. In diesem Abschnitt stellen wir die wichtigsten Rechenregeln fur das Summenzeichen und das analog definierte Produktzeichen dar.