Christoph Scheicher

Measuring Richness and Poverty - A Micro Data Application to Germany and the EU-15

In this paper, we define a new class of richness measures. In contrast to the often used head-count, these new measures are sensitive to changes in rich persons income and therefore allow for a more sophisticated analysis of richness. We demonstrate the application of these new measures to analyse the development of poverty and richness over time in Germany, to compare Germany to the other EU-15 countries and to investigate the impact of tax reforms on poverty and richness. The latter analysis is based on micro data provided by the simulation model FiFoSiM using German income tax and household survey micro data. We show that it partly depends on the measure whether the development of richness in Germany is increasing or decreasing. The cross country analysis yields several groups of countries according to their values of poverty and richness indices. The new richness measures show that the effects of flat tax reform scenarios depend on the reform parameters. Using these examples, we show the importance of taking into account the dimension of changes and not only the number of people beyond a given richness line (headcount). We propose to use the new measures in addition to the headcount index for a more comprehensive analysis of richness.

Does Work Always Pay in Germany

Abstract Income redistribution in Germany is the result of a combination of several redistribution instruments: there is a complex income tax law, different obligatory social insurances and supplementary benefits. This paper estimates income redistribution by quantile regression, using German EVS data. Two results are obtained: income after redistribution does not always increase in line with income before redistribution, i.e. for people with a low income before redistribution, it does not make sense to increase their efforts, since more work means less earnings. Further, an increasing redistribution rate for higher incomes is not always observable from the data.

Determinanten und Eigenwerte von Matrizen

Jeder quadratischen Matrix wird eine Zahl, ihre Determinante, zugeordnet. Determinanten von Matrizen haben vielfaltige Anwendungen. Determinanten werden im Folgenden benotigt, um die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix zu bestimmen. Auserdem lassen sich die hinreichenden Bedingungen fur Extrema einer Funktion mit und ohne Nebenbedingungen mit Hilfe von Determinanten beschreiben. Eigenwerte und Eigenvektore einer Matrix haben vielfaltige Anwendungen. Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Analyse von Input-Output-Modellen, in der multivariaten Statistik im Rahmen der Hauptkomponenten- bzw. Faktoranalyse, in der Zeitreihenanalyse bei den sogenannten vektorautoregressiven Modellen sowie bei der Untersuchung von Systemen von linearen Differential- bzw. Differenzengleichungen.

Folgen und Reihen

In diesem Kapitel werden zunachst Folgen reeller Zahlen betrachtet und Kriterien fur ihre Konvergenz angegeben. Dann untersuchen wir die Konvergenz von Reihen. Mit Hilfe der geometrischen Reihe werden Formeln der Finanzmathematik hergeleitet. Im Weiteren betrachten wir den wichtigen Begriff der Stetigkeit von Funktionen und diskutieren die wichtigsten Eigenschaften stetiger Funktionen.

Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen

In diesem Kapitel bestimmen wir mit Hilfe der Differentialrechnung Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variablen. Die folgenden Abschnitte behandeln nacheinander die Bestimmung von Extrema im Innern des Definitionsbereichs, am Rand des Definitionsbereichs, und unter Nebenbedingungen. Im Innern des Bereichs werden lokale Maxima und Minima ahnlich wie bei Funktionen einer Variablen durch die beiden ersten Ableitungen der Funktion charakterisiert. Die Suche nach Extrema auf dem Rand erfordert spezielle Uberlegungen. Maxima und Minima unter Gleichungsnebenbedingungen werden mit der Lagrange-Methode oder der Eliminationsmethode bestimmt. Fur allgemeine Optimierungsprobleme, die neben Gleichungs- auch Ungleichungsnebenbedingungen enthalten, verwendet man zur Bestimmung von Extrema die sogenannten Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen.

Summen und Produkte

Formeln, in denen Summen vorkommen, lassen sich haufig ubersichtlicher schreiben und einfacher umformen, indem man eine abkurzende Schreibweise fur die Summen verwendet. Dabei werden die Summanden mit Hilfe eines Index beschrieben, der bestimmte Werte durchlauft. Die Summe wird durch das Summenzeichen, ein groses griechisches Sigma, symbolisiert. In diesem Abschnitt stellen wir die wichtigsten Rechenregeln fur das Summenzeichen und das analog definierte Produktzeichen dar.

Matrizen und Vektoren

Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema, in dem Zahlen zusammengefasst werden. Matrizen haben vielfaltige Anwendungen, etwa bei der Beschreibung von Produktionsprozessen oder dem Losen linearer Gleichungssysteme. Mit Hilfe der sogenannten Matrix-Vektor-Notation konnen komplizierte Zusammenhange oftmals in einfacher und ubersichtlicher Form dargestellt werden. Matrizen stehen in engem Zusammenhang mit den sogenannten linearen Abbildungen. In diesem Kapitel behandeln wir die wichtigsten Begriffe der Matrizenrechnung und beschreiben den Zusammenhang mit linearen Abbildungen.

Differenzierbare Funktionen einer Variablen

Dieses Kapitel behandelt die Differentialrechnung mit reellen Funktionen, die nur von einer Variablen abhangen. Mit Hilfe der Differentialrechnung untersucht man dasWachstumsverhalten einer Funktion. Die erste Ableitung beschreibt den lokalen Anstieg der Funktion, die zweite Ableitung ihre Krummung. Durch die beiden Ableitungen werden Maximal- und Minimalstellen der Funktion sowie bestimmte qualitative Eigenschaften – Monotonie, Konvexitat und Konkavitat – charakterisiert. Die Differentialrechnung spielt eine wichtige Rolle bei der Kurvendiskussion, d.h. der Untersuchung von Funktionen auf Extrema oder Wendepunkte. Auch numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung wie beispielsweise das Newton-Verfahren beruhen auf der lokalen Approximation einer Funktion mit Hilfe der Differentialrechnung.

Differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen

Die meisten in okonomischen Modellen auftretenden Funktionen, etwa Produktionsfunktionen und Nutzenfunktionen, sind Funktionen mehrerer Variablen. In diesem Kapitel behandeln wir die Differentialrechnung von reellen Funktionen in mehreren Variablen. Wir erlautern die wichtigsten Begriffe wie partielle und totale Ableitung einer Funktion in mehreren Variablen, Differential und Elastizitaten, den Grad der Homogenitat einer Funktion sowie Rechenregeln fur die Ableitung von vektorwertigen und impliziten Funktionen.

Grundbegriffe der linearen Algebra

Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Struktur sogenannter Vektorraume beschaftigt. Ein Vektorraum ist eine Struktur, in der sich „im Wesentlichen“ so rechnen lasst, wie wir es von den Vektoren des Euklidischen Raums kennen. In diesem Kapitel werden wir die grundlegenden Begriffe der linearen Algebra einfuhren. Der Einfachheit halber beschranken wir uns dabei weitgehend auf den Fall, dass der Vektorraum der Euklidische Raum ist, gehen aber auch kurz auf allgemeinere Vektorraume ein. Am Ende diese Kapitels wenden wir die erhaltenen Ergebnisse auf die Losung linearer Gleichungen an.