Richard Courant

Die Grundtatsachen der Variationsrechnung

Fast alle Fragen der mathematischen Physik, auf welche wir die Theorien der vorangegangenen Kapitel anwenden wollen, stehen in mehr oder weniger engen Beziehungen zur Variationsrechnung. Wir wollen in diesem Kapitel die Grundtatsachen dieser zentralen Disziplin der Analysis entwickeln, um aus ihnen in naturgemaser Weise die Differentialgleichungen der mathematischen Physik und Ansatze fur die Methoden zu ihrer Losung zu erhalten. In spateren Kapiteln des zweiten Bandes soll dann die hier dargelegte Theorie erganzt und vertieft werden.

Exkurs über numerische Methoden

Wer die Analysis als Instrument zur Behandlung physikalischer oder technischer Erscheinungen verwenden soll, steht vor der Frage, ob und wie sich aus den theoretischen Einsichten praktische Hilfsmittel zur wirklichen numerischen Ausfuhrung der Rechnungen ergeben.. Aber diese Frage besitzt auch vom Standpunkt des Theoretikers, der nicht die Natur beherrschen, sondern Zusammenhange erkennen will, ein kaum geringeres Interesse. Hinsichtlich einer systematischen Behandlung numerischer Methoden mus ich auf spezielle Darstellungen verweisen1). Hier kann ich nur nebeneinander einige besonders wichtige mehr oder weniger unmittelbar an das Vorangehende anknupfende Punkte behandeln. Dabei hebe ich grundsatzlich hervor, das jede genaherte Berechnung erst dann einen prazisen Sinn besitzt, wenn sie durch eine Abschatzung des begangenen Fehlers erganzt wird, wenn man also bei ihr eine Sicherheit fur den Grad der erreichten Genauigkeit gewonnen hat.

Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung.

Unter den Grenzwertbildungen der Analysis spielen zwei eine besonders wichtige Rolle, nicht nur weil sie immer wieder in den verschiedensten Zusammenhangen auftreten, sondern vor allem weil sie miteinander in einer engen Wechselbeziehung stehen. Diese beiden Grenzwertbildungen, das Integral und der Differentialquotient, wurden an Hand vereinzelter Beispiele schon seit langer Zeit, zum Teil sogar schon im klassischen Altertum betrachtet; aber erst die Tatsache, daβ man ihren engen gegenseitigen Zusammenhang erkannte und sie, gestutzt darauf, zur Grundlage ganz neuer methodischer Rechenverfahren machte, bildet den Beginn der eigentlichen systematischen Integral- und Differentialrechnung. Das Verdienst, diese Entwicklung angebahnt zu haben, gebuhrt gleichmaβig den zwei groβen Geistern des 17. Jahrhunderts NEWTON und LEIBNIZ, die, wie man heute weiβ, ihre Entdeckungen unabhangig voneinander machten. Wenn vielleicht NEWTON in seinen Untersuchungen zu groβerer begrifflicher Klarheit durchdrang, so haben sich doch die LEiBNIZschen Bezeichnungen und Rechenmethoden in hoherem Grade durchgesetzt als die NEWTONschen; noch heute bilden diese formalen Seiten der LEIBNIZschen Gedankenentwicklung ein unentbehrliches Element in der Theorie.

Das Problem der Reihenentwicklung willkürlicher Funktionen

Viele der im vorigen Kapitel behandelten Zusammenhange finden eine weitgehende Analogie, wenn man statt der Vektoren im n-dimensionalen Raume Funktionen von einer oder mehreren Veranderlichen betrachtet, die in einem vorgegebenen Grundgebiet G definiert sind. So kann man zu der Tatsache, das sich im Raume von n Dimensionen jeder Vektor linear durch n unabhangige, sonst aber beliebig gewahlte Vektoren ausdrucken last, das Problem in Parallele setzen, eine mehr oder weniger willkurlich angenommene Funktion im Grundgebiete G als lineare Kombination aus vorgegebenen Funktionen darzustellen. (Die Menge dieser vorgegebenen Funktionen mus, wie sich im folgenden als selbstverstandlich erweisen wird, unendlich sein.) Wir sprechen dann von dem Problem der Reihenentwicklung der willkurlich angenommenen Funktion nach dem vorgeschriebenen Funktionensystem. Im vorliegenden Kapitel soll diese bei den Aufgaben der mathematischen Physik in der mannigfachsten Form auftretende Fragestellung unter allgemeinen Gesichtspunkten behandelt werden.

Anwendung der Variationsrechnung auf die Eigenwertprobleme

Schon im vorigen Kapitel haben wir auf den engen Zusammenhang zwischen dem Eigenwertproblem einer Differentialgleichung und dem einer quadratischen Form hingewiesen. Die Eigenwertprobleme unserer Differentialgleichungen sind geradezu aquivalent mit dem Problem der Hauptachsentransformation einer quadratischen Form, allerdings einer von unendlich vielen Variablen. Bedeutet namlich z.B. (U = frac{1}{2}intlimits_0^pi {cal P} left( {frac{{partial u}}{{partial x}}} right)^2 dx) (T = frac{1}{2}intlimits_0^pi varrho u^2 dx) die potentielle bzw. die kinetische Energie eines eindimensionalen Kontinuums, so brauchen wir nur den Ansatz (u = sumlimits_{nu = 1}^infty {f_nu } (t)sin vx) zu machen, p und ϱ in eine Fouriersche Reihe entwickelt zu denken und die beiden Ausdrucke U und T fur potentielle und kinetische Energie als quadratische Formen der unendlich vielen Variablen (Koordinaten) f ν bzw. f ν zu betrachten. Wenn es gelingt, eine orthogonale Substitution n n

Theorie der linearen Integralgleichungen

f_nu = sumlimits_{mu = 1}^infty {t_{nu mu } } q_mu {rm{textup{ bzw. }}} dot f_nu = sumlimits_{mu = 1}^infty {t_{nu mu } } dot q_mu ;(nu = 1,2, cdots )

Partial Difieren - tial Equations

n ndieser Variablen in neue q μ bzw. q μ so zu bestimmen, das dabei die Formen U und T in die Gestalt n n