Robert Fricke

Vermischte arithmetische Anwendungen

Zunachst zeigen wir nach dem Vorbild von Jacobi, wie sich die Darstellungsanzahlen einiger ganzzahliger quaternarer quadratischer Formen in einfacher Weise durch Teilersummen ausdrucken lassen. Als weitere arithmetische Anwendungen bestimmen wir die Klassenzahlrelationen erster Stufe und die Kroneckersche Grenzformel.

Erstes Kapitel. Die elliptischen Integrale und ihre zur ersten Stufe gehörenden Normalgestalten

Wir nehmen nunmehr den Gedankengang von S. 96 wieder auf und wenden uns zur Untersuchung der Integrale einer vorgelegten Riemannschen Flache F 2 mit vier getrennt liegenden Verzweigungspunkten. Diese Flache ist eine unter unendlich vielen F 2, welche ein und denselben Korper algebraischer Funktionen definieren; in der Tat ist ja jede andere F 2, welche auf die zunachst vorgelegte Flache im Sinne von S. 93 ff. umkehrbar rational bezogen ist, ebensogut brauchbar, als Grundlage der Betrachtung der Funktionen des Korpers und der Integrale zu dienen. Wir werden danach streben, die Integrale tunlichst in eine Gestalt zu kleiden, die gegenuber Wechsel der Flache invariant ist. Auf der anderen Seite werden wir, sobald es sich um die Bevorzugung einer besonderen F 2 und um den Aufbau der ihr zugehorigen „Normalgestalten“ der Integrale handelt, dem Prinzip der „ersten“ Stufe folgend nur mit „rationalen“ Invarianten arbeiten.

Erstes Kapitel. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der Verzweigungsform und der elliptischen Integrale

Wenn auch die in der alteren Theorie der elliptischen Funktionen auftretenden Normalgestalten der Integrale keineswegs allein durch lineare Transformation der Variabelen z tatsachlich gewonnen worden sind, so kann man doch gleichwohl durch ausschlieslich lineare Transformationen zu ihnen allen gelangen. Durch Einschrankung auf solche Transformationen gelingt es aber, der Entwicklung einen einheitlichen und abgeschlossenen Charakter zu verleihen. Die nachfolgende Darstellung schliest sich unmittelbar an die Entwicklungen von S. 118 ff. an. Die neu hinzutretende Idee ist, das wir neben den rationalen nun auch irrationale Invarianten der Verzweigungsform zulassen wollen. Die einfachsten unter ihnen liefern uns diejenigen Normalgestalten der Integrale, welche wir als zur zweiten und zur vierten Stufe gehorig bezeichnen werden, und die eben die Integralgestalten der alteren Theorie sind.

Viertes Kapitel. Die eindeutigen doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

Nachst der Eindeutigkeit ist die doppelte Periodizitat die wichtigste Eigenschaft der elliptischen Funktionen. Es ist moglich und oftmals durchgefuhrt, die Darstellung der ganzen Theorie an den Begriff der „eindeutigen doppeltperiodischen Funktion“ einer Variabelen anzuknupfen. Wie sich alsdann der Aufbau der Theorie gestaltet, soll im vorliegenden Kapitel dargestellt werden.

Zweites Kapitel. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

Nach den algebraischen Vorbereitungen des vorigen Kapitels sind wir nunmehr imstande, das von Klein aufgestellte „Prinzip der Stufenteilung“ zu formulieren, welches uns gestatten wird, die Entwicklungen der alteren Theorie der elliptischen Funktionen in ihrem Verhaltnis zur Weierstrasschen Theorie in einfachster Weise zu erfassen. Wir behandeln im vorliegenden Kapitel zunachst die Funktionen der zweiten Stufe als solche von u, ω 1, ω 2; weitere Ausfuhrungen uber die Modulfunktionen zweiter Stufe folgen im nachsten Kapitel.

Einleitung. Zusammenstellung von Sätzen über analytische Funktionen

In der nachfolgenden Einleitung sollen einige Definitionen und Satze uber analytische Funktionen zusammengestellt werden, und zwar in derjenigen vielfach beschrankten Gestalt, in welcher dieselben innerhalb der Theorie der elliptischen Funktionen zur Benutzung kommen. Auf die Beweise der Satze kann hier zumeist nicht ausfuhrlich eingegangen werden; es ist in dieser Hinsicht vielmehr auf die Spezialwerke uber die Theorie der analytischen Funktionen zu verweisen.

Analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks

Fur die Verwendung der elliptischen Funktionen zur Untersuchung ebener Bewegungen liefert das ebene Gelenkviereck ein besonders leicht zugangliches und mehrfach betrachtetes Beispiel. Die Moglichkeit eine analytische Theorie des ebenen Gelenkvierecks mit Hilfe von elliptischen Funktionen durchzufuhren, erkannte G. Darboux und stellte hierfur die grundlegenden analytischen Entwicklungen unter Benutzung der Jacobischen Funktionen auf. Dass man an Stelle der Jacobischen Funktionen auch die Weierstrassschen Funktionen ℘(u), ℘′(u) benutzen kann, ist selbstverstandlich. Einige Ausfuhrungen hieruber hat Picciati gegeben; doch dringen dieselben nicht ein, da sie sich bei der Einfuhrung eines gewissen kanonischen Koordinatensystems auf allgemeine, algebraisch nicht durchgefuhrte Ansatze beschranken. Eine neue Behandlung der Darbouxschen Formeln hat M. Krause geliefert, der auch eine Reihe wertvoller Dissertationen uber diese Gegenstande angeregt hat.

Einleitung. Numerische Berechnungen im Gebiete der elliptischen Funktionen

Fur die Losung von Aufgaben mittels elliptischer Funktionen, die bis zur Gewinnung von numerischen Endergebnissen getrieben werden mussen, werden hier zunachst einleitend Regeln und Methoden zur numerischen Berechnung der in der Theorie der elliptischen Funktionen auftretenden Grossen zusammengestellt.

Erster Abschnitt. Die Additions-, Multiplikations- und Divisionssätze der elliptischen Funktionen. Erstes Kapitel. Die Additionssätze der elliptischen Funktionen

Eine vorlaufige Betrachtung der Additionssatze der Funktionen erster Stufe wurde schon in I, 202ff. durchgefuhrt. Es sei insbesondere an die daselbst S. 204 entwickelte Auffassung erinnert, nach welcher die Additionsformeln fur ℘ und ℘′: n n