Rudolf Taschner

Eine Ungleichung von van der Corput und Kemperman

The tool of van der Corputs difference theorem in the theory of uniform distribution is his so-called fundamental inequality.Kemperman showed that even the non-constructive proofs of the difference theorem byBass, Bertrandias andCigler implicitly use a more general form of van der Corputs fundamental inequality. In this article, the inequality which constitutes the basis of the difference theorem will be proved under a very general setting, applications will be demonstrated in connection with the uniform distribution of products of linear forms and a quantitative version of the difference theorem, i. e. an estimation of discrepancies, will be derived.

Number Theoretic Functions

Until now the approximation of individual real numbers has been studied with the help of integers, and for this the methods of Analysis and Geometry have been seen to be helpful. From now on the reverse problem will be attacked: number theoretic functions, the calculation of which for large values is severely limited because of the irregularity of their behaviour, will be represented approximately by known functions from differential and integral calculus with easily described behaviour. Moreover the methods of analysis are also available for these approximation problems. For example in Chapter 5 we prove the prime number theorem, which has for its subject the approximation of the number theoretic function π(x), which counts all prime numbers p ≤ x by means of the function x/log x. In this chapter we develop the notation and necessary techniques, discuss how good an approximation is, and present some simple examples.

Ein metrischer Satz derC-Gleichverteilung

A metric theorem onC-uniform distribution will be proved and some applications will be mentioned, e. g. theC-uniform distribution for (in a certain sense) almost all continuously differentiable functions.

Gleichverteilte Doppelfolgen und eine Abschätzung der C-Diskrepanz

In this paper a criterion forC-uniformly distributed differentiable functions is given by using uniformly distributed double sequences. This criterion allows to find lower bounds of theC-discrepancy of differentiable functions.

The swap of integral and limit in constructive mathematics

Integration within constructive, especially intuitionistic mathematics in the sense of L. E. J. Brouwer, slightly differs from formal integration theories: Some classical results, especially Lebesgues dominated convergence theorem, have tobe substituted by appropriate alternatives. Although there exist sophisticated, but rather laborious proposals, e.g. by E. Bishop and D. S. Bridges (cf. [2]), the reference to partitions and the Riemann-integral, also with regard to the results obtained by R. Henstock and J. Kurzweil (cf. [9], [12]), seems to give a better direction. Especially, convergence theorems can be proved by introducing the concept of “equi-integrability”. The paper is strongly motivated by Brouwers result that each function fully defined on a compact interval has necessarily to be uniformly continuous. Nevertheless, there are, with only one exception (a corollary of Theorem 4.2), no references to the fan-theorem or to bar-induction. Therefore, the whole paper can be read within the setting of Bishops access to constructive mathematics. Nothing of genuine full-fledged Brouwerian intuitionism is used for the main results in this note (© 2010 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim)

Introduction and historical remarks

It will come as no surprise to the reader to note that the title “The Continuum” refers to Hermann Weyl’s renounced book on the continuum, and in fact: the author of this book, though light-years away from the mathematical and philosophical capabilities of Weyl, shares his scepticism about the foundation of analysis in the sense of Georg Cantor and Richard Dedekind.

Descartes: Zahl und Raum

»Warum sind die Berge blau?« soll Giordano Bruno als kleiner Bub seinen Vater bei einem Ausflug gefragt und von diesem die Antwort erhalten haben: dies kame daher, weil sie so weit weg sind. Der tiefe Eindruck von den Weiten des Raumes hat Giordano Bruno nie verlassen. Er war so pragend, dass Bruno ihn in seiner ganzen Wucht zu spuren und zu verkunden trachtete. Er war der erste, der – noch ohne dies astronomisch belegen zu konnen – behauptete: Die Sonne ist nur einer von Legionen von Sternen, die uns aus den uneinholbaren Tiefen des Weltraums entgegenleuchten, so unvorstellbar weit entfernt, dass ihr ursprunglich gleisendes Licht zum matten Schimmer verkummert.

Laplace: Zahl und Politik

Zu den wichtigsten Ereignissen in bundesweiten Wahlkampfen zahlen die so-genannten »Elefanten-Runden«. In ihnen debattieren die Spitzenkandidaten der wichtigsten konkurrierenden Parteien untereinander und mit Journalisten vor den Fernsehkameras. Man ahnt kaum, welch dominierende Rolle Zahlen in diesen Konfrontationen spielen: Bei einer vor einigen Jahren stattgefundenen derartigen Veranstaltung warfen wahrend ihrer gesamten Dauer von 90 Minuten die Teilnehmer insgesamt 196 Zahlen zur Unterstutzung ihrer Argumente einander und den mehr oder weniger interessierten Wahlerinnen und Wahlern vor.

Leibniz: Zahl und Logik

Kein Denker war von der Kraft der Logik mehr uberzeugt als Gottfried Wilhelm Leibniz und kein anderer Gelehrter war je so universell gebildet wie er. Leibniz zahlt zu den Philosophen wie zu den Historikern, zu den Theologen wie zu den Sprachwissenschaftlern, zu den Biologen wie zu den Geologen, zu den Mathematikern wie zu den Logikern, zu den Juristen wie zu den Diplomaten. Beherrscht war sein Denken vom Streben nach einer universellen Methode, mit der man Wissen erlangen und das Wesen des Kosmos verstehen konnte. Schon in jungen Jahren bezieht sich Leibniz auf einen Satz von Hobbes, wonach das Denken ein Rechnen sei. So forschte er nach einer »lingua universalis«, einer von symbolischer Logik gepragten Universalsprache, in der alle Fehler des Denkens in Gestalt von Rechenfehlern aufscheinen sollten.

Bohr: Zahl und Materie

Kaum eine andere naturwissenschaftliche Theorie hat so spektakulare und nachhaltige Erfolge vorzuweisen wie die Quantentheorie, die uns mitteilt, was die stoffliche »Welt im Innersten zusammenhalt«. Bis heute lies kein einziges physikalisches Experiment leiseste Zweifel an der Gultigkeit dieser fundamentalen Theorie aufkommen – und dies will viel bedeuten, wenn man bedenkt, dass so hervorragende Physiker wie Albert Einstein und Erwin Schrodinger die Position der Quantentheorie als ein in sich geschlossenes Theoriengebaude ablehnten: sie meinten, dass es sich dabei um ein zwar brauchbares, aber noch verbesserungswurdiges System vorlaufiger Hypothesen handle. Alle bisherige Erfahrung lehrt hingegen, dass sich Einstein und Schrodinger in ihrer Skepsis tauschten.