S. Fubini

Conformal Invariance in Quantum Mechanics

SummaryThe properties of a field theory in one over-all time dimension, invariant under the full conformal group, are studied in detail. A compact operator, which is not the Hamiltonian, is diagonalized and used to solve the problem of motion, providing a discrete spectrum and normalizable eigenstates. The role of the physical parameters present in the model is discussed, mainly in connection with a semi-classical approximation.RiassuntoSi studiano le proprietà di una teoria invariante conforme in cui il «campo» dipende solo da una dimensione temporale. Un operatore compatto, che non coincide con l’hamiltoniana, è diagonalizzato ed usato per risolvere il problena del moto. Esso ha uno spettro discreto ed autostati normalizzabili. Si discute il ruolo dei parametri fisici del modello, anche in rapporto ad un’approssimazione semiclassica.РезюмеВ случае одного временного измерения подробно обсуждаются свойства теории поля, инвариантной относительно полностью конформной группы. Диагонализуется компактиый оператор, который не является Гамильтонианом. Этот оператор используется для решения проблемы движения в случае дискретного спектра и нормализуемых собственных состояний. Обсуждается роль физических параметров, присутствующих в модели, в основном, в связи с полуклассическим приближением.

Theory of high-energy scattering and multiple production

SummaryIn this paper we propose a theoretical model for high-energy interaction, the basic idea of which is that the high-energy processes are reducible to the low-energy ones, through a peripheral mechanism. The asymptotic properties of this model are studied by means of a linear omogeneous integral equation, whose kernel depends on the low-energy amplitudes. It is shown that many general predictions can be derived which are independent of the detailed form of the low-energy input. The results refer both to high-energy elastic scattering and multiple production. For the inelastic processes we obtain simple general predictions for measurable quantities such as multiplicities, inelasticity and spectra of secondaries. For the elastic scattering we find the characteristic Regge pole behaviour for all scattering amplitudes. The relation between the bound-state problem and diffraction can therefore be understood in a relativistic model which contains in itself both phenomena. We finally discuss the possible corrections of the model by using approximatively the unitarity condition and we find indications of the possible existence of continuous power distribution, or equivalently, of cuts in the complex angular-momentum variable.RiassuntoIn questo lavoro si propone una teoria per lo studio delle interazioni forti di alta. energia. L‘idea di base è che i processi di alta energia sono riconducibili, attraverso un meccanismo periferico, a processi di bassa energia. Le proprietà asintotiche di questo modello vengono studiate per mezzo di un‘equazione integrale agli autovalori, il cui nuoleo è funzione delle ampiezze dei processi di bassa energia. Si mostra come molte predizioni generali possono essere derivate dalla struttura dell‘equazione integrale senza conoscere la soluzione esplicita di questa. I risultati riguardano tanto l‘urto elastico come la produzione multipla di alta energia. Per i processi inelastici noi otteniamo semplici predizioni generali per quel che riguarda la natura, la molteplicità, l‘inelasticità e lo spettro dei secondari. Per l‘urto elastico, noi troviamo il caratteristico comportamento del polo di Regge per le ampiezze. Questo ci permette di capire la relazione tra stati legati e diffrazione in un modello relativistico che contiene entrambi. Si discutono infine alcune correzioni al modello imposto dall‘unitarietà ; queste correzioni suggeriscono l‘esistenza di una continuità di poli di Regge, cioè di tagli nel piano del momento angolare complesso.

Superconformal quantum mechanics

N = 1 and N = 2 superconformal quantum mechanics are formulated and solved. Spontaneous symmetry breaking occurs. A de Sitter subalgebra is used to define new supersymmetric evolution operators. The modified system has a discrete spectrum exhibiting new supersymmetries. The N = 2 extended de Sitter superalgebra is spontaneously broken to N = 1. The relation to the behaviour of finite field theories and Poincare invariance is discussed.

A dispersion theory of symmetry breaking

SummaryA new relativistic approach to the problem of broken symmetries is proposed. This is the covariant generalization of the non-relativistic sum rules obtained in previous investigations. The result is in the form of dispersion sum rules where the pole term represents the group-theoretical answer and the cut the breaking correction. The method is applied toSU3 and chiralSU3×SU3 leading to very satisfactory results and predictions.RiassuntoSi propone un nuovo metodo relativistico per trattare il problema della rottura delle simmetrie. Si tratta di una generalizzazione covariante delle regole di somma non relativistiche ottenute in precedenti ricerche. Come risultato si ottengono regole di somma in forma dispersiva, i termini polari rappresentando la previsione valida al limite di simmetria ed il continuo la correzione dovuta alla rottura. Il metodo viene applicato ai gruppiSU3 edSU3×SU3 spirale e si ottengono risultati oltremodo soddisfacenti.

A new approach to conformal invariant field theories

SummaryA new approach to conformal invariant field theories is presented. The physical idea is to introduce a fundamental scale of hadron phenomena by means of a dilatation noninvariant vacuum state in the framework of a scale-invariant Lagrangian field theory. A new unconventional feature is that this programme can only be carried out if the «vacuum» state is not translation invariant. The «vacuum» is still invariant under a 10-parameter subgroup of the full conformal group but this subgroup does not coincide with the Poincaré group. A physical interpretation based on an appropriate averaging on an infinite ensemble of equivalent «vacuum» states allows to preserve energy momentum conservation, which is defined within a thermodynamical framework.RiassuntoSi propone una nuova trattazione delle teorie dei campi invarianti conformi. L’idea di partenza è di introdurre una lunghezza fondamentale per i fenomeni adronici utilizzando uno stato di vuoto non invariante rispetto a dilatazioni in corrispondenza a una Lagrangiana invariante conforme. Una caratteristica non convenzionale di questo programma ha che questo richiede uno stato di «vuoto» non invariante rispetto a traslazioni. Il «vuoto» è ancora invariante rispetto a un sottogruppo a 10 parametri del gruppo conforme ma tale sottogruppo non coincide con il gruppo di Poincaré. Un’interpretazione fisica basata sulla media su un insieme di infiniti equivalenti «stati di vuoto» permette di preservare la conservazione del quadriimpulso.РезюмеПредлагается новый подход к конформно-инвариантным теориям поля. Основная физическая идея представляет введение фундаментальной шкалы для адронных явлений с помощью расширения неинвариантного вакуумного состояния в рамках теории поля с масштабно-инвариантным Лагранжианом. Новая необычная особенность состоит в том, что эта программа может быть реализована только, если состояние «вакуума» не является трансляционно инвариантным. «Вакуум» является инвариантным относительно 10-параметрической подгруппы полностью конформной группы, но эта подгруппа не совпадает с группой Пуанкаре. Физическая интерпретация, основанная на соответсвующем усреднении по беско-нечному ансамблю эквивалентных «вакуумных» состояний, приводит к закону сохранения энергии-импульса, который определяется в рамках термодинамики.

Integral equation for high-energy pion-pion scattering

SummaryThe structure of the high-energy scattering amplitude is studied in the framework of a model which is based on the choice of the most peripheral graphs. The imaginary part of the scattering amplitude is shown to satisfy an integral equation which has many analogies with the Bethe-Salpeter equation in the ladder approximation. In the high-energy limit it is possible to obtain a solution of our equation which exhibits the energy dependence explicitely. The analogy of our results with the ones obtained on the basis of the extension of the Regge theory to high-energy scattering is discussed.RiassuntoFacendo uso di un modello, basato sulla scelta dei grafici più periferici, viene studiata la struttura dell’ampiezza di diffusione ad alta energia. Si mostra che la parte immaginaria della ampiezza di diffusione soddisfa una equazione integrale, che ha parecchie analogie con l’equazione di Bethe-Salpeter nell’approssimazione di scala. È possibile così ottenere una soluzione della equazione nel limite delle alte energie, in cui la dipendenza dall’energia viene espressa esplicitamente. Viene discussa l’analogia dei risultati ottenuti con quelli che si ottengono sulla base dell’estensione alla diffusione ad alta energia della teoria di Regge.

The octonionic instanton

Abstract The existence of self-dual instanton solutions of d = 4 Yang-Mills theories is related to the fact that the action can be expressed as the square of the self-dual field E + B . In this letter, we prove a similar result for d = 8 Yang-Mills theories. By use of the octonionic algebra the action can be represented as the sum of the squares of seven combinations of the field strengths. As a consequence, we construct a classical solution which is theeight-dimensional analogue of the d = 4 instanton.

Gauge theories and strong gravity

SummaryWe discuss in detail the classical solutions of two field theoretical models invariant under general variable transformations. In particular we examine the case of a Yang-Mills theory and of a four-dimensional nonlinear sigma model, both coupled to “strong gravitation». Instanton, meron and multimeron configurations are obtained and their properties discussed.RiassuntoIn questo lavoro si discutono le soluzioni classiche di due modelli di teoria dei campi invarianti per trasformazioni generali di variabili. In particolare si esplorano i casi di Yang-Mills e di un modello sigma non lineare in quattro dimensioni, accoppiati ad un campo di «gravità forte». Si ottengono configurazioni di tipo istantone, merone e multimerone, di cui si mostrano le proprietà fondamentali.РезюмеМы подробно обсуждаем классические решения двух моделей теории поля, инвариантных относительно общих преобразований переменных. В частности, мы исследуем случай теории Янга-Миллса и четырехмерной нелинейной сигма-модели, которые связаны с «сильной гравитацией». Получаются конфигурации инстантона, мерона и мультимерона и обсуждаются их свойства.

On the treatment of singular bethe-salpeter equations

SummaryThe properties of the bound-state solutions of the BetheSalpeter equation in the ladder approximation are investigated in the case of potentials strongly singular at the origin. The analogy with potential scattering and the connexion to field theory are discussed. A method is given which allows the reduction of the singular problem to a regular one and explicit solutions for eigenvalue and eigenfunctions are presented in a particular case.RiassuntoVengono esaminate le soluzioni dell’equazione di Bethe-Salpeter per gli stati legati, nell’approssimazione a scala, nel caso particolare di potenziali fortemente singolari neu’origine. Viene inoltre discussa l’analogia con lo scattering da potenziale e la connessione con la teoria dei campi. Viene suggerito un metodo che permette la riduzione del problema singolare ad uno regolare, ed in un caso particolare viene fornita la soluzione esplicita per gli autovalori e le autofunzioni.

Asymptotic properties of scattering and multiple production

A model for elastic and inelastic processes in interactions above the Bev region is considered; the model consists of a superposition of peripheral diagrams, and represents an approximate solution of the strip approach to the Mandelstam representation. The asymptotic behavior of cross sections, multiplicities, secondaries, and elastic amplitudes in the model is reviewed. Cuts in the angular momentum appear in the model, and their effects are also discussed. (T.F.H.)