Stephan Kaufmann

Schwingungen mit Freiheitsgrad eins

Mechanische Schwingungen in einem materiellen System sind verknupft mit mechanischen Energieaustauschvorgangen. Sie entsprechen stets periodischen Umwandlungen von kinetischer in potentielle Energie und umgekehrt. Deformierbare elastische Elemente wie Federn, Balken, Platten und andere Tragstrukturen einer Maschine oder eines Bauwerkes vermogen potentielle Energie in Form von Deformationsenergie zu speichern. Kommen sie aus ihren Ruhelagen durch irgendwelche ausere Storeinflusse heraus, so nimmt die Deformationsenergie zu. Ruckstellkrafte, welche proportional zu den zusatzlichen Deformationen sind, beschleunigen die im System vorhandenen Massen in Richtung der Ruhelage zuruck und entwickeln kinetische Energie.

Energiesätze und -verfahren

Von den in Kapitel 22 entwickelten Begriffen ausgehend, werden im Folgenden einige der wichtigsten Energiesatze erortert und auf konkrete Probleme der Mechanik deformierbarer Korper angewendet. Um den Formalismus zu reduzieren, entwickeln wir diese Energiesatze und die damit verknupften Verfahren am Beispiel der speziellen Biegung. Die sinngemase Verallgemeinerung auf Falle mit zusammengesetzter Beanspruchung, auf raumliche Spannungszustande, auf krumme Stabe usw. bietet keine Schwierigkeiten und kann grostenteils durch rein formale Schritte erfolgen.

Spezielle Biegung prismatischer Balken

Viele Bau- und Maschinenteile konnen zumindest naherungsweise als schlanke prismatische Balkentrager identifiziert werden. Diese mussen Krafte ubertragen, so dass der Berechnung der Spannungsverteilung im Trager und der quantitativen Voraussage seiner Deformation grose konstruktive Bedeutung zukommt. Im vorliegenden Kapitel beschranken wir die Diskussion auf den Beanspruchungsfall ohne Torsionsmoment und Normalkraft, d.h. nur mit Biegemoment und Querkraft.

Arbeit und Deformationsenergie

Schon in den Kapiteln 5 bis 8 (Band 1) wurde der energetische Standpunkt in den Vordergrund gestellt, insbesondere folgten dort die grundlegenden Aussagen der Statik aus dem Begriff Leistung. Einen ahnlichen Standpunkt kann man auch in der Mechanik deformierbarer Korper einnehmen. Dabei erweisen sich die zentralen Begriffe Arbeit und Deformationsenergie als besonders fruchtbar. Im vorliegenden Kapitel fuhren wir diese Begriffe schrittweise ein. In Kapitel 23 werden dann einige konkrete Anwendungen der hier entwickelten Begriffsbildungen diskutiert.

Zur Kinematik starrer Körper

In Abschnitt 1.1 wurde der starre Korper im Zusammenhang mit dem Bezugskorper definiert. Demnach sollen die Abstande zwischen beliebigen Punkten eines starren Korpers stets konstant bleiben. Die Verbindungsvektoren a := MM’ zwischen zwei willkurlich gewahlten materiellen Punkten M und M’ behalten also wahrend jeder Bewegung ihre Lange, obwohl sich ihre Richtung verandern kann

Ruhelage und Gleichgewicht

Im vorliegenden Kapitel werden kausale Zusammenhange zwischen dem kinematischen Zustand Ruhe eines materiellen Systems und der Eigenschaft Gleichgewicht der auf das System wirkenden Krafte aufgestellt und diskutiert.

Bewegung eines materiellen Punktes

Ein materielles System S ist eine Menge S{M} von materiellen Punkten M. Der materielle Punkt M wird im Raum durch einen geometrischen Punkt dargestellt, welcher Lage von M heist. Dabei ist der Raum mathematisch als dreidimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt, also als Euklidischer Vektorraum modelliert. Der materielle Punkt M andert seine Lage, falls zu verschiedenen Zeiten t1, t2, ... verschiedene geometrische Punkte M(t1), M(t2), ... zur Darstellung von M benotigt werden.

Linear elastisches Stoffverhalten

Das Deformationsverhalten eines festen oder fluidartigen Materials wird in der Mechanik deformierbarer Korper (d.h. in der Kontinuumsmechanik) mit Hilfe von Stoffgleichungen charakterisiert, d.h. von Beziehungen zwischen Spannungen und Verzerrungen und allenfalls deren zeitlichen Ableitungen. Solche Beziehungen mussen auf experimentellen Beobachtungen beruhen und sollen schlussendlich dem Ingenieur erlauben, das Deformationsverhalten der von ihm in einer Konstruktion eingesetzten Werkstoffe (zum Beispiel Stahl, Beton, Keramik, Kunststoff, Lack, Ol, Luft) vorauszusagen. Um auf physikalisch sinnvolle Formulierungen der Stoffgleichungen zu gelangen, werden die experimentellen Beobachtungen zunachst mit moglichst einfachen Hypothesen theoretisch modelliert. Solche einfachen theoretischen Modelle beruhen auf Idealisierungen des tatsachlichen Verhaltens und haben ihre spezifischen Gultigkeitsgrenzen. Zum Beispiel nimmt man bei der Modellierung des Deformationsverhaltens von Strukturen aus metallischen Werkstoffen wie Stahl oder Aluminium meist an, sie seien homogen und isotrop. Ein Korper aus einem gegebenen Werkstoff heist mechanisch homogen, falls seine Stoffgleichungen ortsunabhangig sind (mit anderen Worten gelten in jedem materiellen Punkt des Korpers die gleichen Beziehungen zwischen Spannungen und Verzerrungen). Er heist mechanisch isotrop, falls seine Stoffgleichungen in jedem materiellen Punkt richtungsunabhangig sind (der wichtige Begriff der Isotropie wird in den folgenden Abschnitten weiter prazisiert).