Mahir Sayir

Measurement of the scattering of a Lamb wave by a through hole in a plate

Flexural waves propagating in an aluminum plate containing a circular hole are studied. In the experiments the first antisymmetric Lamb wave mode A0 is excited selectively by a piezoelectric transducer. The scattered field around a circular cavity is measured pointwise using a heterodyne laser interferometer. The measurements are compared with theoretical calculations. Different approximate analytical approaches, employing Kirchhoff and Mindlin types of plate theories to describe the scattered field, are used. Good agreement between the experimental data and the analytical solutions is found within the ranges of validity of the different models. Introduction of a small imperfection, like a notch, at the boundary of the cavity changes the measured scattered field

Dynamic behaviour of sandwich plates

SummaryThis paper discusses the physical behaviour of “bending” waves in sandwich plates in which the facings are thin, stiff and heavy as compared with the core. By means of asymptotic expansions of the basic equations of linear elasticity, it is shown that different “physical mechanims” predominate in different frequency ranges. The consequence is that different, but relatively simple equations of motion may be used within limited frequency ranges. The predictions of such an equation, valid for moderate frequencies, are compared with measurements performed on glass-polyurethane sandwich plates. The agreement of theoretical and experimental dispersion curves for axisymmetric waves, and hence for plane waves as well, was found to be very satisfactory.ZusammenfassungDie vorliegende Arbeit diskutiert das physikalische Verhalten von “Biegewellen” in Sandwichplatten mit im Vergleich zum Kern dünnen, steifen und schweren Druckplatten. Mit Hilfe asymptotischer Entwicklungen der Grundgleichungen des linearelastischen Kontinuums wird gezeigt, daß in verschiedenen Frequenzbereichen ganz verschiedene physikalische Verhaltensweisen vorherrschen. Innerhalb beschränkter Frequenzbereiche können daher verschiedene, dafür verhältnismäßig einfache Bewegungsgleichungen Verwendung finden. Die Voraussagen einer solchen Gleichung, gültig für mäßige Frequenzen, werden verglichen mit Messungen, die an Glas-Polyurethan-Sandwichplatten ausgeführt worden sind. Die theoretischen und die experimentellen Dispersionskurven für rotationssymmetrische und somit auch für ebene Wellen stimmen gut überein.

High speed deep drawing of hardening and rate sensitive solids with small interfacial friction

Abstract An asymptotic expansion solution for a hardening visco-plastic material undergoing a high rate deep drawing process is derived and utilized. The solution incorporates a wide range of variables, some of them not previously studied in this context, as, for example, the dynamic load induced by the high speed of the operation, the material rate sensitivity index and the frictional constraints along the blank/die interfaces. The behaviour of the suggested solution reconstitutes some observed phenomena, like the loading path of the moving punch, the limiting drawing ratio before rupture intercepts and the onset of blank thinning. Comparisons to available experiments and numerical solutions are made.

On Elementary Theories of Linear Elastic Beams, Plates and Shells (Review Paper)

SummaryThis paper presents a review of the elementary theories on the bending of straight and curved beams, on plates and shells, using asymptotic approximations of the basic linearized equations of elasticity in three dimensions. The maximun norm has been chosen to specify the orders of magnitude of the quantities involved. The expansions are given as usual in terms of the small geometrical parameter characterizing the thinness of the structure. Most of the ideas and results are well known. Nevertheless, in the cases where more than one small parameter may be involved, such as small curvatures (shallow structures) or the small loading parameter used to linearize the equations of elasticity, the discussion on the limits of validity of the different theories lead to some interesting newer aspects. Moreover, the main ideas presented in this paper concerning multiple parameter expansions may be applied to discuss the behaviour of the structures and to obtain valuable analytical results in more complicated situations such as moderate and strong anisotropy, dynamic problems, stability etc.ZusammenfassungDie vorliegende Arbeit enthält einen Ueberblick über die elementaren Theorien der Biegung von geraden und krummen Stäben, von Platten und Schalen unter Verwendung von asymptotischen Approximationen der dreidimensionalen linearisierten Grundgleichungen der Elastizität, Zur Festlegung der Grössenordnung der massgebenden Funktionen wurde die Maximum-Norm verwendet. Die asymptotischen Entwicklungen sind wie üblich in Abhängigkeit des kleinen geometrischen Parameters gegeben, der die dünne Struktur charakterisiert. Die meisten Ideen und Resultate sind gut bekannt. Dennoch in den mehrparametrigen Fällen, so etwa bei kleinen Krümmungen (flache Strukturen) oder bei der expliziten Berücksichtigung des kleinen Belastungparameters, der zur Linearisierung der elastizitätsgleichungen verwendet wurde, führt die Diskussion über die Gültigkeitsgrenzen der verschiedenen Theorien zu einigen neueren und interessanten Aspekten. Ausserdem können die in der vorliegenden Arbeit dargelegten Hauptideen über mehrparametrige Entwicklungen zur Diskussion und zur Herleitung wertvoller Resultate über das Verhalten dünner Tragwerke in komplizierten Fällen wie mässige und starke Anisotropie, dynamische Probleme, Stabilität usw. übertragen werden.

A second order theory for large deflections of slender beams

The classical theory of finite deformations for slender beams was mainly developed by Euler and Kirchhoff and assumes linear-elastic constitutive behaviour. But finite deformations lead a priori to a problem of nonlinear elasticity. Introducing dimensionless quantities, one realizes the importance of two small parameters which characterize the slenderness of the beam and the relation between the loading and the stiffness of the material. The asymptotic approximation of first order with respect to these two parameters confirm in the case of the “elastica” the Kirchhoff equations. For the second order approximation we restrict the discussion to the case, where the centerline of the beam bends as a plane curve in first order. Under this assumption, we derive general equations of second order and discuss some special cases. We show that local stress and strain fields of second order are always influenced by physical nonlinearities. For the second order global deformation of the centerline, the role of the physical nonlinearities depends on the shape of the cross section and its symmetry. The importance of the nonlinear effects is illustrated in some numerical examples. These applications show that physical nonlinearities have a greater influence than the geometrical nonlinearities of the problem. Thus, in higher approximations than the first, restriction to Hookes law is not permissible in general.ZusammenfassungDie im wesentlichen auf Euler und Kirchhoff zurückgehende Theorie großer Deformationen des schlanken Balkens beruht auf einem linearelastischen Stoffgesetz. Große Deformationen ergeben jedoch a priori ein Problem der nichtlinearen Elastizitätstheorie. Führt man dimensionslose Größen ein, so erkennt man die Bedeutung zweier kleiner Parameter, welche die Schlankheit des Balkens und das Verhältnis zwischen Belastung am Balken und Steifigkeit des Materials beschreiben. Die asymptotische Approximation erster Ordnung nach diesen Parametern bestätigt für den Fall der Elastica die Kirchhoffschen Gleichungen. Für die Behandlung der zweiten Ordnung beschränkt sich die Arbeit auf die in erster Näherung ebene elastische Linie. In diesem Rahmen werden allgemeine Gleichungen zweiter Ordnung hergeleitet und zusammen mit einigen Spezialfällen diskutiert. Es stellt sich heraus, daß, bei der Bestimmung der lokalen Spannungs- und Verzerrungsfelder in zweiter Approximation, Elastizitätskonstanten zweiter Ordnung stets eine Rolle spielen. Für die globale Deformation der Balkenmittellinie bestimmt die Querschnittsform und deren Symmetrieeigenschaften, ob nichtlineare Elastizitäten zu berücksichtigen sind oder nicht. Das Ausmaß der nichtlinearen Effekte wird anhand einiger numerischer Beispiele dokumentiert. Diese zeigen, daß der Einfluß stofflicher Nichtlinearität stärker ins Gewicht fällt als jener, der aus der geometrischen Nichtlinearität des Problems herrührt, im allgemeinen bei der Behandlung höherer Approximationen also nicht mehr mit dem Hookeschen Gesetz gerechnet werden darf.

Elastic plastic stress distribution in a rotating solid shaft

Based on Trescas yield condition and the associated flow rule, the stress distribution in a rotating solid cylinder of elastic-perfectly plastic material under plane strain is discussed. It is shown that the plastic core consists of two parts with different regimes of the yield condition. With increasing angular velocity, a second plastic zone forms at the boundary and spreads inwards.ZusammenfassungUntersucht wird die Spannungsverteilung in einem rotierenden Zylinder aus elastisch-ideal-plastischem Material unter der Voraussetzung des ebenen Verzerrungszustandes. Zugrundegelegt ist die Trescasche Fließbedingung und die zugeordnete Fließregel. Der plastische Kern besteht aus zwei Teilen mit unterschiedlichen Regimes der Fließbedingung. Bei Steigerung der Winkelgeschwindigkeit bildet sich am Rand eine zweite Fließzone aus, die nach innen wandert.

Propagation of flexural waves in a thin transversely isotropic plate

SummaryIn this paper a mathematical model is derived by means of asymptotic expansion of the basic equations of linear elasticity describing the radiation of flexural waves in a thin transversely isotropic plate from an oscillating pointload. The theory is restricted to large wavelengths and moderate anisotropy. In addition, expressions are given for the phase velocities of plane bending waves depending on the direction of propagation and put in relation to the phaselines of curved crested waves due to a pointload. The theory is compared with measurements and experiments performed on carbon-fibre-reinforced plates.ZusammenfassungDurch asymptotische Entwicklung der Grundbeziehungen der linearen Elastizität wird ein mathemtisches Modell entwickelt, das die Ausbreitung von Biegewellen in dünnen transversal isotropen Platten infolge einer oszillierenden Punktlast beschreibt. Die Theorie ist beschränkt auf große Wellenlängen und mäßig starke Anisotropie. Zusätzlich werden Ausdrücke angegeben für die Phasengeschwindigkeit von ebenen Biegewellen in Abhängigkeit der Ausbreitungsrichtung und in Verbindung gesetzt zu den Phasenlinien gekrümmter Wellen infolge einer Punktlast. Die theoretischen Ansätze werden mit Messungen an kohlefaserverstärkten Platten verglichen.

Der Verträglichkeitssatz der Plastizitätstheorie und seine Anwendung auf räumlich unstetige Felder

SummaryThe theorems of limit analysis and the compatibility theorem are extended to 3-dimensional rigid-perfectly plastic bodies containing stress and velocity discontinuities. Attention is focussed on isotropic bodies with a convex yield surface, and in particular a few general results are obtained for plane flow.

On wave propagation and energy flux in thin transversely isotropic plates

A thin, unidirectionally reinforced, composite plate is considered and modelled as a transversely isotropic linear elastic plate. The structure is subjected to a oscillating load perpendicular to the plane of the plate at a central point. The resulting transverse (bending) waves are studied. Theoretical calculations using asymptotic expansions of the three-dimensional basic equations are presented. With the help of analytical solutions based on Fourier-transform techniques, calculated constant-phase lines, amplitude decay and energy flux are shown to be in good agreement with experiments performed on a thin unidirectionally reinforced plate made of carbon-fibre prepregs.ZusammenfassungEine dúnne, unidirektionell verstárkte Verbundplatte wird als transversal isotropes Fláchentragwerk modelliert. Die Belastung besteht aus einer oszillierenden Last senkrecht zur Plattenebene in einem zentralen Punkt der Platte. Die entstehenden Biegewellen werden studiert. Theoretische Berechnungen beruhen auf asymptotischen Entwicklungen der dreidimensionalen Grundgleichungen. Analytische Lösungen, welche mit Hilfe von Fourier-Transformationsmethoden hergeleitet werden, erlauben die Berechnung von Kurven konstanter Phase, Amplitudenabnahme und Energiefluß. Die theoretischen Voraussagen stimmen mit experimentellen Beobachtungen und Messungen an einer kohlefaserverstärkten Platte gut überein.

Edge Effects in Rotationally Symmetric Composite Shells

Abstract Fiber-reinforced rotationally symmetric shells are usually much stiffer along the meridian than across the transverse direction. Thus, their bending resistance is much larger than their resistance against shear deformation. Strong shear coupling results even for thin shells if they are subjected to transverse loads. Engineering approaches have to be reassessed and may prove to be inaccurate, particularly in regions close to the edges. We start from the three dimensional equations of linear elasticity and present an asymptotic approach based on a systematic discussion of the relative magnitude of two geometrical and one material parameters. Cases of moderately and strongly anisotropic behaviour are compared to isotropy, and simplified sets of equations are derived and solved for the edge zones, where shear coupling becomes decisive in understanding some of the anomalies encountered here in both numerical and experimental analyses of such structures. A transversely isotropic cylindrical shell is used to illustrate the general procedure and its physical consequences.