Stephan Knapek

Optimized general sparse grid approximation spaces for operator equations

This paper is concerned with the construction of optimized sparse grid approximation spaces for elliptic pseudodifferential operators of arbitrary order. Based on the framework of tensor-product biorthogonal wavelet bases and stable subspace splittings, we construct operator-adapted subspaces with a dimension smaller than that of the standard full grid spaces but which have the same approximation order as the standard full grid spaces, provided that certain additional regularity assumptions on the solution are fulfilled. Specifically for operators of positive order, their dimension is O(2 J ) independent of the dimension n of the problem, compared to O(2 Jn ) for the full grid space. Also, for operators of negative order the overall cost is significantly in favor of the new approximation spaces. We give cost estimates for the case of continuous linear information. We show these results in a constructive manner by proposing a Galerkin method together with optimal preconditioning. The theory covers elliptic boundary value problems as well as boundary integral equations.

Matrix-Dependent Multigrid Homogenization for Diffusion Problems

For problems with strongly varying or discontinuous diffusion coefficients we present a method to compute coarse-scale operators and to approximately determine the effective diffusion tensor on the coarse-scale level. The approach is based on techniques that are used in multigrid, such as matrix-dependent prolongations and the construction of coarse-grid operators by means of the Galerkin approximation. In numerical experiments we compare our multigrid-homogenization method with continuous homogenization, renormalization, and simple averaging approaches.

Integral Operators on Sparse Grids

In this paper we are concerned with the construction and use of wavelet approximation spaces for the fast evaluation of integral expressions. The spaces are based on biorthogonal anisotropic tensor product wavelets. We introduce sparse grid (hyperbolic cross) approximation spaces which are adapted not only to the smoothness of the kernel but also to the norm in which the error is measured. Furthermore, we introduce compression schemes for the corresponding discretizations. Numerical examples for the Laplace equation with Dirichlet boundary conditions and an additional integral term with a smooth kernel demonstrate the validity of our theoretical results.

A Multigrid-Homogenization Method

For problems with strongly varying or discontinuous diffusion coefficients, we present a method to approximately determine the effective diffusion coefficient on the coarse scale level. It is based on techniques used also in multigrid, i.e. matrix-dependent prolongations and the construction of coarse grid operators by means of the Galerkin approximation. In numerical experiments, we compare our multigrid-homogenization method with homogenization, renormalization and averaging approaches.

Erweiterung auf kompliziertere Potentiale und Moleküle

In den bisherigen Anwendungen traten nur Paarpotentiale auf. In diesem Kapitel betrachten wir nun einige Anwendungen mit komplizierteren Potentialen und diskutieren die dafur notwendigen Anderungen in den Algorithmen. Wir beginnen mit drei Beispielen fur Mehrkorperpotentiale, dem Potential von Finnis-Sinclair [230, 326, 584], dem EAM-Potential [64, 172, 173] und dem Potential von Brenner [122]. Das Potential von Finnis-Sinclair und das EAM-Potential beschreiben Bindungen in Metallen. Wir verwenden diese Potentiale zur Simulation von Mikrorissen und Strukturumwandlungen in metallischen Materialien. Das Potential von Brenner beschreibt Kohlenwasserstoffbindungen. Wir setzen es zur Simulation von Kohlenstoff-Nanorohren und sogenannten Kohlenstoff-Buckyballen ein. Anschliesend erweitern wir unseren Code auf Potentiale mit festen Nachbarschaftsstrukturen. Damit konnen wir auch einfache Netze aus Atomen und lineare Molekulketten wie Alkane und Polymere simulieren. Zuletzt geben wir einen Ausblick auf die Implementierung von komplizierteren Biomolekulen und Proteinen.

Gitterbasierte Methoden für langreichweitige Potentiale

In den Kapiteln 3 und 5 haben wir sogenannte kurzreichweitige Potentiale wie das Lennard-Jones-Potential (3.27), das Potential von Finnis-Sinclair (5.2), das EAM-Potential (5.14) und das Potential von Brenner (5.17) betrachtet. Die daraus resultierenden Wechselwirkungen zwischen den Partikeln waren dabei auf nahe beieinander liegende Partikel beschrankt. Neben diesen kurzreichweitigen Potentialen gibt es aber auch Typen von Potentialen, bei denen Wechselwirkungen mit weiter entfernten Partikeln fur die Entwicklung des betrachteten Partikelsystems relevant sind. In drei Dimensionen bezeichnet man Potentiale, die in r schneller als l / r3 abfallen, als kurzreich weit ig. 1 Damit gehoren das Gravitationspotential (2.42) und das Coulomb-Potential (2.43) zu den langsam abfallenden, langreichweitigen Potentialen.

Von der Schrödingergleichung zur Moleküldynamik

In Partikelmethoden werden die Gesetze der klassischen Mechanik [48. 367] verwendet, insbesondere das zweite Gesetz von Newton. In diesem Abschnitt gehen wir nun der Frage nach, wieso es uberhaupt sinnvoll ist, die Gesetze der klassischen Mechanik anzuwenden, da eigentlich die Gesetze der Quantenmechanik benutzt werden musten. Leser, die mehr an der algorithmischen Seite beziehungsweise der Implementierung der Algorithmen in der Molekuldynamik interessiert sind, konnen diesen Abschnitt uberspringen.

Baumverfahren für langreichweitige Potentiale

In Kapitel 7 haben wir am Beispiel des Coulomb- und des Gravitationspotentials gitterbasierte Verfahren fur die Behandlung langreichweitiger Wechselwirkungen zwischen Partikeln beschrieben. Dieser Zugang stutzt sich auf eine Darstellung des Potentials Ф als Losung der Poisson-Gleichung (7.5). Er funktioniert gut solange wir Potentiale vom Typ l/r betrachten und die Teilchen in etwa uniform verteilt sind. Im Falle nicht-uniformer Verteilungen, wenn sich also die Partikel in einem Teil des Simulationsgebietes haufen, verringert sich die Effizienz der gitterbasierten Methoden stark. Das zu verwendende Gitter mus namlich fein genug gewahlt sein, um die inhomogenen Partikelverteilungen aufzulosen. Solche inhomogenen Partikelverteilungen treten insbesondere in der Astrophysik haufig auf, kommen aber auch in vielfaltiger Form bei biochemischen Molekuldynamik-Simulationen vor.

Das Linked-Cell-Verfahren für kurzreichweitige Potentiale

In Kapitel 1 haben wir das Partikelmodell, erste Potentiale sowie den Basisalgorithmus vorgestellt. Weitere Potentiale haben wir in Abschnitt 2.2.4 kennengelernt. Offene Fragen sind dabei die schnelle Auswertung der Potentiale beziehungsweise der daraus resultierenden Krafte an den Partikelpositionen und die Wahl eines geeigneten Integrationsverfahrens. Diesen Problemen sind die folgenden Kapitel des Buches gewidmet. Die verschiedenen Verfahren und Algorithmen fur die Auswertung der Krafte sind dabei stark von der Art der verwendeten Potentiale abhangig. Wir beginnen die Diskussion in diesem Kapitel mit der Herleitung eines Algorithmus fur kurzreichweitige Wechselwirkungen, die sich jeweils nur auf die nachsten geometrischen Nachbarn eines Partikels beschranken lassen. Man beachte jedoch, das der hier vorgestellte Algorithmus auch die Basis fur die in den Kapiteln 7 und 8 diskutierten Verfahren fur Probleme mit langreichweitigen Wechselwirkungen darstellt.

Anwendungen aus Biochemie und Biophysik

Gentechnik und Biotechnologie sind im letzen Jahrzehnt ein immer wichtigeres und aktuelles Thema geworden. Deswegen wollen wir in diesem Kapitel einen Ausblick auf die Vielfalt von Fragestellungen aus dem Bereich Biochemie und Biophysik geben, die mit den bisher entwickelten Molekuldynamik-Methoden behandelt und untersucht werden konnen. Die Anwendungen gehen dabei von der Dynamik von Proteinen (Eiweisen) uber die Strukturuntersuchung von Membranen, der Bestimmung der Bindungsenergien zwischen Inhibitoren und Liganden, bis hin zur Untersuchung von Konformationsanderungen und Fragen der (Ent-)Faltung von Peptiden, Proteinen und Nucleinsauren.