Werner Vogt

Continuation of quasi-periodic invariant tori

Many systems in science and engineering can be modeled as coupled or forced nonlinear oscillators, which may possess quasi-periodic or phase-locked invariant tori. Since there exist routes to chaos involving the break-down of invariant tori, these phenomena attract considerable attention. This paper presents a new algorithm for the computation and continuation of quasi-periodic invariant tori of ODEs that is based on a natural parametrization of such tori. Since this parametrization is uniquely defined, the proposed method requires neither the computation of a base of a transversal bundle nor remeshing during continuation. It is independent of the stability type of the torus, and examples of attracting and saddle-type tori are given. The algorithm is robust in the sense that it can compute approximations to weakly resonant tori. The performance of the method is demonstrated with examples.

Quasi-periodische Lösungen und invariante Tori

Periodische Losungen nichtlinearer dynamischer Systeme wurden in den vergangenen Jahren grundlich analysiert. Ein umfangreiches numerisches Instrumentarium steht dem Anwender zur Verfugung, wovon wir in Kapitel 6 grundlegende Komponenten vorgestellt haben.

Numerik periodischer Lösungen

In vielen Anwendungen der Natur- und Ingenieurwissenschaften treten Schwingungsprobleme mit periodischen Losungen zeitkontinuierlicher dynamischer Systeme auf. Derartige Losungen befinden sich nicht als Ruhelagen im Gleichgewicht, sondern schwingen mit einer konstanten Schwingungsdauer, der Periode T der Bewegung.

Numerik der Gleichgewichtslösungen

In den vorangegangenen Kapiteln wurden dynamische Systeme als mathematische Objekte eingefuhrt, die die zeitliche Entwicklung existierender Systeme in Natur-, Ingenieurund anderen Wissenschaften beschreiben. Zeitkontinuierliche Systeme werden dabei haufig durch gewohnliche Differenzialgleichungen (DGL) modelliert.

Bifurkation bei gewöhnlichen DGL

Anderungen von Kontrollparametern in DGL-Systemen konnen zu ganz neuen Langzeitmustern der Bewegung fuhren. Kleine Anderungen in der Erregerfrequenz, der Erregeramplitude oder der Dampfung konnen qualitative Anderungen im physikalischen Verhalten hervorrufen.