Winfried Stier

Prognosen mit ARMA- und ARIMA-Modellen

Zeitreihen werden in der Praxis haufig deshalb mit Hilfe von ARMA- bzw. ARIMA-Prozessen modelliert, weil sich auf der Basis solcher Modelle relativ bequem Prognosen erstellen lassen. Insbesondere weisen diese Prognosen die Eigenschaft der Rekursivitat auf, d.h. die I-Schritt-Prognose kann unmittelbar aus der (l-1 )-SchrittPrognose entwickelt werden.

Grundzüge der Theorie digitaler Filter

Unter einem digitalen Filtersoll hier ein Algorithmus zur Transformation einer Zeitreihe verstanden werden. Statt von Zeitreihespricht man im Kontext filtertheoretischer Uberlegungen auch haufig von Signal (dies ist z.B. in der Elektrotechnik ublich). Formal kann der Zusammenhang zwischen der zu filternden Reihe xt′ dem sog. Filter-Input, und der gefilterten Reihe Yt′ dem sog. Filter-Output, durch Yt=F(xt) dargestellt werden.

Unit-roots und Unit-root-Tests

Unit-roots und Kointegration sind zwei Gebiete der Zeitreihenanalyse, die seit einigen Jahren Gegenstand intensiver Forschungsarbeiten sind und enge Verbindungen zur Okonometrie aufweisen. In der Tat spricht man deshalb heute auch von einer ″time series econometrics″. Theoretische und empirische Arbeiten auf bei den Gebieten sind heute in ihrer Fulle fast unubersehbar. Es kann hier nicht der Ort sein, daruber auch nur einen annahernd vollstandigen Uberblick bieten zu wollen. ″The unit-root literature is vast; any survey must by necessity be selective″ (Diebold/ Nerlove 1990, S.4). Dasselbe kann von der Literatur zur Kointegration gesagt werden. Hinzu kommt, daβ zur Bestimmung wichtiger (asymptotischer) Verteilungen und Schatzverfahren in der Regel ein relativ komplizierter mathematischer Apparat erforderlich ist. Auch dieser kann hier nur ansatzweise ausgebreitet werden. Die folgende Darstellung soll jedoch die jeweils wichtigsten Aspekte in der notwendigen Ausfuhrlichkeit darlegen. Angesichts der Bedeutung, welche den beiden Gebieten heute beigemessen wird, scheint es aber auch notwendig zu sein, relativ ausfuhrlich auf kritische Fragen einzugehen, die Voraussetzungen, praktische Probleme der Anwendung sowie Leistungsfahigkeit dieser Werkzeuge betreffen.

Saisonbereinigungsverfahren und Probleme der Saisonbereinigung

Ein praktisch bedeutsames Teilgebiet der Zeitreihenanalyse stellt die sogenannte Saisonbereinigung dar. Saisonbereinigte wirtschaftsstatistische Daten werden in vielfaltiger Weise publiziert und verwendet, in der Bundesrepublik Deutschland z.B. vom Statistischen Bundesamt, der Bundesbank, sowie von Ministerien und Forschungsinstituten. Fur andere Lander gilt ahnliches. Allerdings werden dazu unter Umstanden recht verschiedene Verfahren eingesetzt - in der Tat existiert eine Fulle von Bereinigungsverfahren, die selbst fur den Spezialisten kaum noch uberschau bar sind. Eine ausfuhrliche Darstellung auch nur der wichtigsten Verfahren wurde den hier gebotenen Rahmen bei weitem sprengen. Deshalb kann hier auch nur eine gewisse Auswahlvon Verfahren in ihren Grundzugen dargestellt werden - auf elementare Verfahren wurde schon in Kap. Ir. eingegangen - wobei vor allem solche Verfahren berucksichtigt werden sollen, die praktisch besonders bedeutsam sind (wie z.B. das Berliner Verfahren als offiziellem Bereinigungsverfahren des Statistischen Bundesamtes der BRD) und/oder von besonderen theoretischem Interesse sind. Eine Fulle von Details zu einzelnen Verfahren findet der interessierte Leser z.B. bei Zellner 1978. Einen Uberblick uber verschiedene Verfahren, der teilweise auch in die nachfolgende Darstellung einflieβt, findet sich bei Stier 1981,1985 sowie Bell/ Hillmer 1984. Auβerdem sei auf die Monographie von Stier 1980 verwiesen. Selbstverstandlich ist diese Auswahl auch unter Zugrundelegung der Kriterien Praxis- bzw.

Grundzüge der Spektralanalyse

Die bisherigen Betrachtungen waren ausschlieβlich im Zeltbereshformuliert. Neben dieser Betrachtungsform existiert jedoch noch eine andere, die wesentliche Eigenschaften eines stationaren Prozesses in sehr anschaulicher Weise darzustellen erlaubt. Dabei handelt es sich um eine Betrachtung im sogenannten Frequenzbereich. Uberlegungen und Schluβfolgerungen in diesem Bereich mogen zwar zunachst vielleicht als wesentlich komplizierter erscheinen als im gewohnten Zeitbereich. Es wird aber an hand der im folgenden prasentierten Beispiele und Graphiken leicht einzusehen sein, daβ Analysen in diesem Bereich und gegebenenfalls eine Kombination von solchen in bei den Bereichen einer Analyse ausschlieβlich im Zeitbereich vorzuziehen sind bzw. eine solche sinnvoll erganzen konnen.

Vektorielle stochastische Prozesse

Bisher haben wir univariatestochastische Prozesse betrachtet, d.h. sowohl bei den ARMA- als auch den ARIMA-Prozessen stand die Betrachtung und Analyse einzelner stochastischer Prozesse im Vordergrund. Fur viele Fragestellungen reicht jedoch dieser theoretische Ansatz nicht aus. Dies ist z.B. dann der Fall, wenn Abhangigkeiten zwischen mehreren Variablen modelliert und untersucht werden sollen. Praktisch bedeutsam ist etwa der Fall, daβ Zeitreihendaten fur mehrere Variable gegeben sind und die Frage interessiert, ob und gegebenenfalls welche Beziehungen zwischen diesen Variablen vorliegen. Diese konnen vielfaltiger Art sein: Neben einseitigen (″kausalen″) Beziehungen konnen solche auftreten, bei denen mehr oder weniger komplizierte Ruckkopplungen (feedbacks) zu berucksichtigen sind.

Elementare Filter-Operationen

Bei der Saisonbereinigung wurden Reihenkomponenten mit Hilfe gewisser Techniken, wie z.B. gleitender Durchschnitte, bestimmt oder isoliert. Haufig ist man jedoch nicht unbedingt an einer Reihenkomponente selbst interessiert (zumindest nicht in erster Linie), sondern an der Ursprungsreihe, die aber diese Komponente nicht enthalten soll. Statt an einer Isolation einer Komponente ist man also an ihrer Elimination interessiert. So kann man z.B. die Trendkomponente einer Reihe eliminieren oder ausfiltern wollen, was zu einer trendfreien Reihe fuhrt. Werkzeuge, mit deren Hilfe solche (und ahnliche) Operationen moglich sind, werden generell als Filterbezeichnet. Die Filtertheorie ist ein eigenstandiges Spezialgebiet der Zeitreihenanalyse. Hier sollen nur einige elementare Filter besprochen werden, die auch bei gewissen Prognoseverfahren, wie z.B. dem Box/Jenkins-Ansatz, verwendet werden (fur eine weiterfuhrende Darstellung vergleiche Kap. XVI.).

Transferfunktionen (ARMAX)-Modelle

Bei der Darstellung vektorieller Prozesse in Kap. IV.4.6. wurde ein Spezialfall eines zweidimensionalen autoregressiven Prozesses betrachtet, bei dem die Koeffizientenmatrix Φ die Form einer oberen Dreiecksgestalt aufwies (vgl. Fall c) in Kapitel IV.4.6.). Dies hatte zur Folge, daβ die Variable X1t von X2t abhangig war, aber das Umgekehrte galt nicht, d.h. X2t konnte als unabhangige Variable oder Input—Variableund X1t als (davon) abhangige Variable interpretiert werden. Derartige Modelle, bei denen einseitige(auch kausal genannte) Abhangigkeiten bestehen und die deshalb mit Regressionsmodellen verwandt sind, werden allgemein als Transferfunktionen- oder ARMAX-Modelle bezeichnet. Man unterscheidet dabei Transferfunktionen- Modelle mit einer Input-Variablen (oder einem Input-Prozeβ) und solchen mit mehreren Input-Variablen (oder mehreren Input-Prozessen). Beide Falle sollen hier getrennt behandelt werden, weil beim letzteren im allgemeinen spezielle Probleme auftreten, die mit der moglichen Korrelation der Input-Prozesse zusammenhangen.

Schätzprobleme bei stochastischen Prozessen

Bei den bisherigen Darstellungen und Ableitungen wurde quasi stillschweigend davon ausgegangen, daβ sowohl die Parameter der betrachteten Prozesse als auch ihre Momentfunktionen (Erwartungswerte, Varianzen, Kovarianzen bzw. Korrelationen) bekannt sind. Davon kann naturlich in der Praxis keine Rede sein. Vielmehr muβ realistischerweise davon ausgegangen werden, daβ im allgemeinen weder Prozeβ- Parameter noch Momentfunktionen bekannt sind. Somit mussen diese Groβen auf der Basis von vorliegenden Daten, d.h. einer oder mehrerer Zeitreihen, geschatztwerden. Solche Schatzungen sind allerdings nicht ohne einige grundlegende Voraussetzungen moglich.

Identifikation stochastischer Prozesse

Bei den bisherigen Ausfuhrungen zu univariaten und multivariaten stochastischen Prozessen wurde davon ausgegangen, daβ der Prozeβtyp jeweils bekannt war. Insbesondere wurden bei der Darstellung der Schatzprobleme die Prozeβordnungen p und q bzw. p,d,q als bekannt vorausgesetzt. Dies ist naturlich in der Praxis nicht der Fall. Deshalb sind Werkzeuge notwendig, mit Hilfe derer entschieden werden kann, von welchem Prozeβtyp und welcher Prozeβordnung im konkreten Fall auszugehen ist. Die Festlegung von Prozeβtyp und Prozeβordnung wird als Identifikation bezeichnet, wobei dieser Begriff hier als TS-Identifikation zu verstehen ist (zu diesem Begriffvgl. die Ausfuhrungen in Kap. VI.1.). Im folgenden sollen nun die wichtigsten Identifikationswerkzeuge dargestellt werden.