Yves Colin de Verdière

On a novel graph invariant and a planarity criterion

Un graphe lini est dit planaire si on peut le dessiner dans le plan saris que les a&es se recoupent. Un probleme bien nature1 et rtsolu par Kuratowski [KI] est de trouver une caracterisation des graphes planaires. On pourra ausi a ce sujet consulter les monographies [BE, WE, TE] . 11 se trouve que les mtthodes developpees dans nos articles precedents [C-C, [CV,], G ig4] permettent d’exhiber un invariant global associe a un graphe tini et qui semble nouveau. Cet invariant entier p(r) satisfait le:

Sur le spectre des opérateurs elliptiques a bicaractéristiques toutes periodiques

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Équilibre instable en régime semi-classique: i—concentration microlocale

On s’intéresse tout d’abord aux fonctions propres de l’opérateur de Schrödinger en dimension 1: (− 2 2 ∂ ∂x2 + V (x))φ(x) = E(h)φ(x), (1) • où V est un potentiel C∞, V (x) = −x/2 + o(x) au voisinage de x = 0 et lim inf |x|→∞ V (x) > 0. • où h tend vers 0 (limite semi-classique) • et où E(h) est un niveau d’énergie qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0. On montrera que les fonctions propres se concentrent au point x = 0 à une vitesse au plus logarithmique en h. On en déduira l’existence de fonctions propres du laplacien sur des surfaces de révolution de courbure -1 qui se concentrent sur une géodésique instable (en 1/ ln(λk)).

Reseaux électriques planaires II.

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Multiplicities of Eigenvalues and Tree-Width of Graphs

Using multiplicities of eigenvalues of elliptic self-adjoint differential operators on graphs and transversality, we construct some new invariants of graphs which are related to tree-width.

Essential self-adjointness for combinatorial Schrodinger operators II- Metrically non complete graphs

We consider weighted graphs, we equip them with a metric structure given by a weighted distance, and we discuss essential self-adjointness for weighted graph Laplacians and Schrödinger operators in the metrically non complete case.

A semi-classical inverse problem I: Taylor expansions

In dimension 1, we show that the Taylor expansion of a “generic” potential near a nondegenerate critical point can be recovered from the knowledge of the semi-classical spectrum of the associated Schrodinger operator near the corresponding critical value. Contrary to the work of previous authors, we do not assume that the potential is even. The classical Birkhoff normal form does not contain enough information to determine the potential, but the quantum Birkhoff normal form does. In a companion paper [5], the first author shows how the potential itself is, without any analyticity assumption and under some mild genericity hypotheses, determined by the semi-classical spectrum.

Bohr-Sommerfeld Rules to All Orders

Abstract.Communicated by Bernard Helffer

A semi-classical inverse problem II: reconstruction of the potential

This paper is the continuation of our work with Victor Guillemin (previous paper in this volume); Victor and I proved that the Taylor expansion of the potential at a generic non-degenerate critical point is determined by the semi-classical spectrum of the associated Schrodinger operator near the corresponding critical value. Here I show that, under some genericity assumptions, the potential of the 1D Schroedinger operator is determined by its semi-classical spectrum. Moreover, there is an explicit reconstruction. This paper is strongly related to a paper of David Gurarie (J. Math. Phys. 36:1934–1944 (1995)).

Semi-Classical Measures on Quantum Graphs and the Gauß Map of the Determinant Manifold

In this paper, we describe the weak limits of the measures associated to the eigenfunctions of the Laplacian on a Quantum graph for a generic metric in terms of the Gauss map of the determinant manifold. We describe also all the limits with minimal support (the “scars”).