Language
Country/Area
No result found
Прорыв Штрассена: как можно значительно упростить вычисление умножения матриц?
В теории сложности вычислений арифметические схемы стали стандартной моделью для вычисления полиномов. Эти схемы работают, принимая переменные или числа в качестве входных данных, а затем выполняя операции сложения или умножения, что делает их формальным способом понимания полиномиальной сложности вычислений. Однако вопрос о том, как наиболее эффективно вычислить конкретный полином, все еще заслуживает размышления.
Арифметическая схема — это направленный ациклический граф, в котором каждый узел с нулевой входящей степенью называется входным вентилем и помечается как переменный или полевой элемент.
Размер и глубина арифметических схем являются двумя ключевыми показателями сложности. Размер схемы — это количество ее вентилей, а ее глубина — это длина самого длинного направленного пути от входа к выходу. Например, арифметическая схема может вычислять полиномы с помощью входных вентилей, а затем выполнять операции сложения и умножения на основе вычисленных подузлов.
Верхние и нижние границы
Исследуя сложность вычисления полиномов, мы можем задать себе вопрос: как найти наилучший способ вычисления определенного полинома? Для этого сначала необходимо построить схему, которая может вычислить заданный полином, называемый верхней границей. Затем покажите, что никакая другая схема не может добиться лучших результатов, и это будет нижняя граница.
Хотя две задачи доказательства нижних и верхних границ концептуально тесно связаны, доказательство нижних границ обычно является более сложной задачей, поскольку все возможные схемы необходимо анализировать одновременно.
Примечательным примером является алгоритм Стратерна, который, как было показано, вычисляет произведение двух матриц n×n размером около n2,807. Это представляет собой значительное упрощение по сравнению с традиционным подходом O(n3). Инновации Стрэттерна в первую очередь основывались на его остроумном методе умножения матриц 2×2, который заложил основу для более эффективного умножения матриц.
Вызовы Нижнего мира
Хотя было найдено много хитроумных схем для нахождения верхних границ многочленов, задача доказательства нижних границ чрезвычайно сложна. Особенно для многочленов малой степени, если можно доказать, что некоторые многочлены требуют цепей сверхполиномиального размера, можно проиллюстрировать сложность проблемы. Однако главная проблема заключается в нахождении явного полинома, который может быть признан превосходящим требование к размеру полинома, что стало одним из ключевых направлений современных исследований.
Даны нижние границы для полиномов, таких как x1d + ... + xnd Стратерн и др. доказали, что это Ω(n log d).
Результаты исследований, представленные Стратерном, не только приводят нас к более глубокому пониманию арифметических схем, но и успешно фокусируют внимание на проблемах сложности, вызванных глобальным размером схемы, требуемым полиномами. Если такие результаты можно будет применить к более широкому диапазону полиномов, можно ожидать, что это решит многие нерешенные проблемы.
Алгебраические задачи P и NP
Еще одна тема, на которую стоит обратить внимание, — это проблема P и NP в алгебре. В этом вопросе можно ли решить проблему с той же эффективностью, что и подтвердить существование решения данной проблемы? Это важная теоретическая задача, поскольку она касается не только полиномиальных вычислений, но и затрагивает основную проблему вычислительной сложности в целом.
Проблема VP и VNP, предложенная Вэлиантом, представляет собой замечательную алгебраическую задачу, включающую вычислительные и представительные возможности многочленов.
Углубленное изучение задач VP и VNP может дать уникальное представление о сложности арифметических вычислений. По мере продолжения исследований мы с нетерпением ждем новых прорывов в будущем, которые изменят границы традиционной теории вычислений.
В этом быстро меняющемся мире математики и вычислений, по мере развития теории и расширения практических приложений, сложность процесса вычислений должна, по крайней мере, заставить нас глубоко задуматься. Могут ли будущие вычислительные модели быть еще более оптимизированы?
