Language
Country/Area
No result found
Секрет размера и глубины схемы: как лучше всего вычислять полиномы?
В теории сложности вычислений арифметические схемы являются стандартной моделью вычисления полиномов. Арифметические схемы могут принимать входные данные от переменных или чисел и вычислять результат ранее вычисленного выражения путем сложения или умножения. Эта модель позволяет нам метафизически понять сложность вычисления полиномов.
Основной вопрос схемы: «Как наиболее эффективно вычислить заданный полином?»
Арифметическая схема состоит из управляемого ациклического графа. Каждый узел графа нулевой степени называется входным вентилем и помечен как переменная или элемент домена. Другие ворота — это ворота сложения или умножения. Арифметическая формула представляет собой схему, в которой исходящая степень каждого элемента равна единице, образуя направленное дерево. Есть два важных показателя сложности схем: размер и глубина. Размер схемы относится к количеству вентилей, а глубина — к длине самого длинного направленного пути в схеме.
Арифметические схемы имеют естественный способ вычисления полиномов. Входной вентиль вычисляет свой помеченный полином; вентиль сложения вычисляет сумму полиномов, вычисленных его дочерними элементами, а вентиль умножения вычисляет произведение полиномов, вычисленных его дочерними элементами. Если взять рисунок в качестве примера, входной элемент вычисляет x1, x2 и 1 последовательно, элемент сложения вычисляет x1 + x2 и x2 + 1, а элемент умножения вычисляет значение (x1 + x2) x2 (x2 + 1). .
Обзор
Когда мы сталкиваемся с полиномом f, возникает вопрос, как лучше его вычислить — например, вычислить минимальный размер единичной схемы. Этот вопрос обычно состоит из двух частей. Первая часть — найти схему, которая вычисляет полином, который называется сложностью верхней границы; вторая часть — доказать, что другие схемы не могут достичь лучшей производительности, что называется сложностью нижней границы.
Хотя эти две задачи тесно связаны, доказать нижнюю границу обычно сложнее, поскольку все схемы необходимо обсуждать одновременно.
Здесь важно отметить, что нас интересует формальное вычисление полиномов, а не функций, определяемых полиномами. Например, рассмотрим полином x2 + x в двоичной области. Этот многочлен представляет нулевую функцию в этой области, но не является нулевым многочленом. В этом одно из различий между изучением арифметических схем и изучением схем Боллинджера, а также причина, по которой сложность Боллинджера сложнее, чем арифметическая сложность.
Верхняя граница
При исследовании вычисления полиномиальной сложности были обнаружены некоторые хитроумные схемы или алгоритмы. Например, знаменитый алгоритм умножения матриц Штрассена использует размер схемы около n2,807, что значительно снижает сложность по сравнению с простым n3. Еще одна увлекательная история связана с вычислением определителя матрицы размера n × n. Хотя первоначальный метод расчета требовал схемы размера n!, мы знаем, что определитель можно вычислить с помощью схемы полиномиального размера, несмотря на глубину. схема линейна с n.
Между тем, аналогичные проблемы существуют и для расчета размера постоянных схем для матриц n × n, при этом оптимальная схема имеет размер около 2n.
Нижняя граница
Наши текущие знания о доказательстве нижних границ очень ограничены. Например, для вычисления полиномов очень больших степеней часто требуются большие схемы, например, для полинома степени 2^2n требуется размер схемы около 2n; Основная проблема заключается в доказательстве нижних оценок полиномов малой степени, особенно полиномов размеров n.
Основной открытой проблемой в настоящее время является поиск явного полинома, размер схемы, необходимый для его вычисления, превышает уровень полинома.
Алгебра P и NP
Самой интересной открытой проблемой в теории сложности вычислений является проблема P и NP. Грубо говоря, вопрос в том, может ли определить решение проблемы так же просто, как доказать ее существование. Валиант предложил алгебраическую аналогию задач VP и VNP, которая включает взаимосвязь между размером полинома и размером схемы.
Глубокое упрощение
Важным ориентиром для нашего понимания полиномиальных вычислений являются работы Валианта, Скайума, Берковица и Ракоффа. Они показали, что если многочлен степени r имеет цепь размера s, то у многочлена также есть цепи размера полиномов r и s.
Этот результат считается ложным, учитывая аналогичные результаты при настройках Боллинджера. Одним из следствий этого результата является то, что моделирование схем, включающих полиномы, представляет собой относительно небольшие формулы; в этом случае для полинома степени r для схемы размера s потребуется формула размера s^ (O(log(r))).
Сводка
Дизайн, размер и глубина арифметических схем являются ключевыми элементами вычисления полиномов. Изучение этих элементов является не только теоретической задачей в математике, но также тесно связано с практическими приложениями. Одним из направлений будущих исследований станет вопрос о том, сможем ли мы найти более эффективные методы решения более крупных проблем в этих сложных расчетах.
