Language
Country/Area
No result found
Секрет определяющих вычислений: как решить его умно, используя полиномиальные схемы?
В теории сложности расчета арифметические цепи рассматриваются как стандартная модель для расчета полиномов.По сути, функция арифметической схемы состоит в том, чтобы получать переменные или числа в качестве входов, а затем выполнять операции с добавлением или умножением.Эта модель обеспечивает формальный способ понять сложность вычислительных полиномов.Итак, как эффективно рассчитать заданный многочлен?Это стало одной из основных вопросов исследования.
Арифметическая схема представляет собой направленный ациклический график с входом каждого входного затвора и отмеченной как переменная или элемент полета.Другие ворота отмечены как смесительные ворота или ворота умножения.Каждая схема имеет две меры сложности: размер и глубина.Размер цепи относится к количеству ворот в ней, а глубина схемы относится к длине самого длинного направленного пути.
Арифметическая схема естественным образом вычисляет полиномиальность, входной затвор вычисляет его отмеченный полиномиальность, затвора добавления вычисляет сумму полиномов его детских узлов, а ворота умножения вычисляет продукт полиномов детских узлов.
Анализ верхней границы
При изучении полиномиальной вычислительной сложности были обнаружены некоторые умные схемы и алгоритмы.Знаменитым примером является алгоритм умножения матрицы Страссена.Обычно расчет продукта двух матриц N × N требует схемы примерно в N ним, но Strassen доказывает, что его можно использовать для расчета схемы размером около N².807.
Вычисление детерминанта матрицы n × n также является интересной историей.Чистый метод требует схем около n!, Но мы знаем, что детерминанты могут быть рассчитаны с использованием цепей полиномиального размера, и глубины этих цепей являются линейными.Но Берковиц предлагает улучшение, что размер схемы все еще является полиномом, но глубина ограничена O (log² (n)).
Тем не менее, для постоянной матрицы N × N наиболее известный размер цепи составляет около 2^n, что является третьей схемой глубины, предоставленной теоремой Ризера.
Следующая задача царства
Знание о доказательстве нижней границы очень ограничено, особенно для полиномов небольших степеней.Например, расчет очень высоких уровней полиномов требует больших цепей, и наша главная цель - доказать нижнюю границу полиномов небольших степеней.Основная открытая задача - найти четкие примеры схемы с небольшой степенью полиномиального, но требующего сверхполиномиального размера.
Хотя подсчет аргументов говорит нам, что некоторые полиномы небольших степеней также могут потребовать схемы суперполиномиальных размеров, эти результаты обычно не могут углубить наше понимание вычислительного процесса.
Например, нижняя граница до сих пор может достигать только шкалы ω (n log d), что в основном отражается в работе Страссена и Баур и Страсена.
Проблемы алгебры P и NP
Наиболее заметной открытой проблемой в теории вычислительной сложности является проблема P rs. NP.Проблема алгебраической аналогии Valiant V.PS VS. VNP является одной из них.VP является аналогией принципа полиномиальной степени, в то время как VNP может рассматриваться как проблема, аналогичная NP.Valiant доказывает, что постоянный полином является полным полиномом класса VNP.
Значение уменьшения глубины
В нашем понимании полиномиальных вычислений, Valiant и других ученых, исследование дает важные ссылки.Они показывают, что если полином имеет схему размера S, его глубина также может быть уменьшена до O (log (r) log (ы)), что обеспечивает справочное руководство для решения других подобных задач.
Этот результат не только расширяет метод схемы Берковица, но и помогает нам лучше понять расчет полиномов.
В эту быстро меняющуюся эпоху мы можем найти новые способы получить представление о структуре и сложности схемы вычислений для решения проблем будущих вычислительных потребностей?
