Language
Country/Area
No result found
Bí mật về kích thước và độ sâu của mạch: Cách tốt nhất để tính đa thức là gì?
Trong lý thuyết độ phức tạp tính toán, mạch số học là mô hình chuẩn để tính toán đa thức. Các mạch số học có thể lấy đầu vào từ các biến hoặc số và tính kết quả của biểu thức được tính toán trước đó thông qua phép cộng hoặc phép nhân. Mô hình này cho phép chúng ta hiểu một cách siêu hình sự phức tạp của các đa thức tính toán.
Câu hỏi cơ bản của mạch điện là "Làm thế nào để tính một đa thức cho trước theo cách hiệu quả nhất?"
Mạch số học bao gồm một biểu đồ tuần hoàn có hướng dẫn. Mỗi nút trong biểu đồ có bậc 0 được gọi là cổng đầu vào và được gắn nhãn là một biến hoặc một phần tử trong miền. Các cổng khác là cổng cộng hoặc cổng nhân. Công thức số học là một mạch trong đó bậc ngoài của mỗi cổng là một, tạo thành cây định hướng. Có hai thước đo quan trọng về độ phức tạp của mạch: kích thước và độ sâu. Kích thước của mạch liên quan đến số lượng cổng, trong khi độ sâu liên quan đến độ dài của đường dẫn dài nhất trong mạch.
Mạch số học có cách tính đa thức tự nhiên. Một cổng đầu vào tính toán đa thức được dán nhãn của nó; một cổng cộng tính tổng các đa thức được tính toán bởi các phần tử con của nó và một cổng nhân tính tích của các đa thức được tính toán bởi các phần tử con của nó. Lấy hình làm ví dụ, cổng vào tính x1, x2 và 1 theo thứ tự, cổng cộng tính x1 + x2 và x2 + 1, cổng nhân tính giá trị của (x1 + x2) x2 (x2 + 1) .
Tổng quan
Khi chúng ta gặp một đa thức f, câu hỏi đặt ra là làm thế nào để tính nó tốt nhất - ví dụ, tính kích thước tối thiểu của một mạch đơn vị. Câu hỏi này thường bao gồm hai phần. Phần đầu tiên là tìm một mạch tính toán đa thức, được gọi là độ phức tạp giới hạn trên; phần thứ hai là chứng minh rằng các mạch khác không thể đạt được hiệu suất tốt hơn, được gọi là độ phức tạp giới hạn dưới.
Mặc dù hai nhiệm vụ này có liên quan chặt chẽ với nhau nhưng việc chứng minh giới hạn dưới nhìn chung khó khăn hơn vì tất cả các mạch cần được thảo luận đồng thời.
Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là chúng ta quan tâm đến phép tính hình thức của đa thức chứ không phải các hàm được xác định bởi đa thức. Ví dụ, hãy xem xét đa thức x2 + x trong miền nhị phân. Đa thức này biểu thị hàm số 0 trên miền này, nhưng nó không phải là đa thức bằng 0. Đây là một trong những khác biệt giữa nghiên cứu mạch số học và nghiên cứu mạch Bollinger, đồng thời là lý do tại sao độ phức tạp của Bollinger khó hơn độ phức tạp số học.
Giới hạn trên
Trong nghiên cứu tính toán độ phức tạp đa thức, một số mạch hoặc thuật toán thông minh đã được phát hiện. Ví dụ, thuật toán nhân ma trận Strassen nổi tiếng sử dụng kích thước mạch khoảng n2,807, giúp giảm đáng kể độ phức tạp so với n3 đơn giản. Một câu chuyện thú vị khác là về cách tính định thức của ma trận n × n. Mặc dù phương pháp tính toán ban đầu yêu cầu mạch có kích thước n!, nhưng chúng ta biết rằng định thức có thể được tính bằng mạch có kích thước đa thức, mặc dù độ sâu của mạch. mạch tuyến tính với n.
Trong khi đó, tồn tại những thách thức tương tự để tính toán kích thước của các mạch cố định cho ma trận n × n, với mạch tối ưu có kích thước khoảng 2n.
Giới hạn dưới
Kiến thức hiện tại của chúng ta về việc chứng minh các giới hạn dưới còn rất hạn chế. Ví dụ, tính toán đa thức bậc rất lớn thường yêu cầu mạch lớn; ví dụ, đa thức bậc 2^2n yêu cầu kích thước mạch khoảng 2n. Vấn đề chính nằm ở việc chứng minh giới hạn dưới cho các đa thức bậc nhỏ, đặc biệt là đa thức cỡ n.
Vấn đề mở chính hiện nay là tìm một đa thức rõ ràng sao cho kích thước mạch cần thiết cho tính toán của nó vượt quá mức đa thức.
Đại số P và NP
Bài toán mở thú vị nhất trong lý thuyết độ phức tạp tính toán là bài toán P so với NP. Nói một cách đại khái, câu hỏi đặt ra là liệu việc xác định lời giải cho một vấn đề có thể dễ dàng như việc chứng minh sự tồn tại của nó hay không. Valiant đề xuất một sự tương tự đại số của các bài toán VP và VNP, liên quan đến mối quan hệ giữa kích thước của đa thức và kích thước của mạch điện.
Đơn giản hóa sâu sắc
Một chuẩn mực quan trọng cho sự hiểu biết của chúng ta về phép tính đa thức là công trình của Valiant, Skyum, Berkowitz và Rackoff. Họ đã chỉ ra rằng nếu một đa thức bậc r có một mạch có kích thước s thì đa thức đó cũng có các mạch có kích thước đa thức r và s.
Kết quả này được coi là sai khi đưa ra kết quả tương tự trong cài đặt Bollinger. Một hệ quả tất yếu của kết quả này là việc mô phỏng các mạch chứa đa thức là các công thức tương đối nhỏ; trong trường hợp này, đa thức bậc r cho mạch có kích thước s sẽ yêu cầu một công thức có kích thước s^ (O(log(r))).
Tóm tắt
Thiết kế, kích thước và độ sâu của mạch số học là những yếu tố then chốt để tính toán đa thức. Nghiên cứu các phần tử này không chỉ là một thách thức về mặt lý thuyết trong toán học mà còn gắn liền với các ứng dụng thực tế. Trong những phép tính phức tạp này, liệu chúng ta có thể tìm ra những phương pháp hiệu quả hơn để giải những bài toán lớn hơn hay không sẽ là một trong những hướng nghiên cứu trong tương lai.
