Alexandre Skoda

Algorithmes d’approximation

Dans ce chapitre, nous introduisons le concept important d’algorithmes d’approximation. Jusqu’ici nous avons principalement traite des problemes polynomiaux. Dans les chapitres restants, nous indiquerons quelques strategies pour faire face aux problemes d’optimisation combinatoire NP-difficiles. Dans ce contexte, les algorithmes d’approximation doivent etre mentionnes en premier lieu.

Inheritance of Convexity for Partition Restricted Games

A correspondence P associates to every subset A ⊆ N a partition P(A) of A and to every game (N,v), the P-restricted game (N,vP) defined by vP(A) = ∑ (F ∈ P(A)) v(F) for all A ⊆ N. We give necessary and sufficient conditions on P to have inheritance of convexity from (N,v) to (N,vP). The main condition is a cyclic intersecting sequence free condition. As a consequence, we only need to verify inheritance of convexity for unanimity games and for the small class of extremal convex games (N,vS) (for any O ≠ S ⊆ N) defined for any A ⊆ N by vS(A) = |A ∩ S | − 1 if |A ∩ S | ≥ 1, and vs(A) = 0 otherwise. In particular when (N,v) corresponds to Myersons network-restricted game inheritance of convexity can be verified by this way. For the Pmin correspondence (Pmin(A) is built by deleting edges of minimum weight in the subgraph GA of a weighted communication graph G, we show that inheritance of convexity for unanimity games already implies inheritance of convexity. Assuming only inheritance of superadditivity, we also compute the Shapley value of the restricted game (N,vP) for an arbitrary correspondence P.

The Core for Games with Cooperation Structure

A cooperative game consists of a set of players and a characteristic function that determines the maximal profit or minimal cost that each subset of players can get when they decide to cooperate, regardless of the actions of the rest of the players. The relationships among the players can modify their bargaining and therefore their payoffs. The model of cooperation structures in a game introduces a graph on the set of players setting their relations and in which its components indicate the groups of players that are initially formed. In this paper we define the core and the Weber set and the notion of convexity for this family of games.

Arbres couvrants et arborescences

Un operateur telephonique souhaite louer un certain nombre de lignes parmi un ensemble de lignes existantes, chaque ligne reliant deux villes. Il s’agit de minimiser le cout de location sachant que toutes les villes doivent etre connectees. On peut modeliser le reseau par un graphe ayant pour sommets les villes et pour aretes, les lignes existantes. Par le theoreme 2.4 les sous-graphes minimaux connexes engendrant un graphe donne sont les arbres couvrants de ce graphe. Nous cherchons donc un arbre couvrant de cout minimum, sachant que le cout d’un sous-graphe T d’un graphe G muni de couts c: E(G)→ℝ est: c(E(T))=∑ e∈E(T) c(e).

Plus courts chemins

Un des problemes d’optimisation combinatoire parmi les plus connus est celui de la recherche d’un plus court chemin entre deux sommets donnes d’un graphe: Open image in new window

Le probléme du bin-packing

Supposons que nous ayons n objets, chacun d’une taille donnee, et des boites de meme capacite. On veut ranger les objets dans les boites, en utilisant le moins de boites possible. Bien entendu, la taille totale des objets affectes a une boite ne doit pas depasser sa capacite.

b-couplages et T-joints

Nous etudierons dans ce chapitre deux autres problemes d’optimisation combinatoire: le probleme du b-couplage de poids maximum au paragraphe 12.1 et le probleme du T-joint de poids minimum au paragraphe 12.2. Ces deux problemes generalisent le probleme du couplage parfait de poids minimum et incluent d’autres problemes importants. Mais ils se reduisent egalement au probleme du couplage parfait de poids minimum. Ils se resolvent donc par des algorithmes polynomiaux et possedent des descriptions polyedrales. Puisque dans les deux cas le proble me de separation se resout en temps polynomial, il existe un algorithme polynomial (fonde sur la methode des ellipsoides; voir paragraphe 4.6) pour resoudre ces deux generalisations du probleme du couplage. Le probleme de separation se ramene effectivement a la recherche d’une T- coupe minimum dans les deux cas; voir les paragraphes 12.3 et 12.4. Ce dernier probleme: trouver une coupe de capacite minimum δ(X) quand |X∩T est impair pour T ensemble specifie de sommets se resout avec des techniques de flots.

Flots de coût minimum

Nous etudierons dans ce chapitre des problemes de flot quand des couts sont affectes aux arcs du reseau. Par exemple, si on associe aux arcs du reseau du probleme d’affectation des tâ ches (qui peut se formuler comme un probleme de flot; voir l’introduction du chapitre 8) des couts representant le salaire des employes, notre objectif pourra consister a trouver une affectation de cout minimum permettant d’effectuer toutes les tâches dans un temps donne. Le probleme que nous etudierons dans ce chapitre a de nombreuses autres applications.

Le probléme du sac á dos

Le probleme du couplage parfait de poids minimum et le probleme d’intersection de matroi des avec poids presentes aux chapitres precedents font partie des problemes les plus «difficiles» pour lesquels on connait un algorithme polynomial. Dans ce chapitre, nous traitons le probleme suivant qui se revele etre, en un certain sens, le plus «facile» des problemes NP-difficiles: Open image in new window

Programmation en nombres entiers

Le probleme de la programmation en nombres entiers se formule ainsi: Open image in new window