Christof Weber

Grundvorstellungen zum Logarithmus – Bausteine für einen verständlichen Unterricht

Der Logarithmus birgt fur die meisten Gymnasiastinnen und Gymnasiasten grose Verstandnisprobleme. Trotz vieler Schulstunden verdichtet sich der Logarithmus nur bei wenigen SuS zu einer gedanklichen Entitat, mit der verstandig argumentiert und gearbeitet werden kann. Meistens bleibt er bis zum Schluss eine black box, mit der ein Gefuhl des Sperrigen oder gar der Bedeutungsarmut einhergeht. Im ersten Teil meines Beitrags mochte ich in einer Problemanalyse den moglichen Grunden dafur nachgehen. In der Literatur wird immer wieder auf die anspruchsvolle Schreibweise oder auf den wenig selbsterklarenden oder gar sinnstiftenden Begriff „Logarithmus“ hingewiesen. Verschiedene Autoren gehen damit unterschiedlich um. Fur die Schulerschwierigkeiten mindestens so sehr verantwortlich durfte aber auch die inverse Begriffsfassung des Logarithmus sein. Im zweiten Teil meines Beitrags mochte ich den vorlaufigen Ansatz eines verstandigen Logarithmuslernens vorstellen, der sich das Konzept der Grundvorstellungen zu Nutze macht und stellenweise in Analogie zur Behandlung des „Wurzel“-Themas verlauft: (1) Logarithmus als Rechenoperation („Werkzeug zur Berechnung einer Zahl“): → Grundvorstellung der verallgemeinerten Stellenanzahl (2) Logarithmus als Termumformung („Werkzeug zum Losen von Gleichungen“): → Grundvorstellung des Reduzierens der Operationsstufe (3) Logarithmus als Funktion („Werkzeug zum Modellieren von Wachstumsprozessen“): → Grundvorstellung einer extrem langsam wachsenden, nichtlinearen Funktion. Zur Verdeutlichung werden im dritten Teil eine mogliche unterrichtliche Umsetzung vorgestellt. Aspekte wie Schulerschwierigkeiten oder die Tragfahigkeit von (1) und (3) kann ich durch Ausschnitte aus Schulerdokumenten illustrieren. Andere Aspekte mussen hypothetisch bleiben.

From 'Vorstellungsübungen' to 'exercises in mathematical imagining': how changing language changes theoretical perspective

Individual imaginings can be a resource for epistemic processes in mathematics (Giaquinto, 2007) and in mathematics teaching (Mason, 2002). While teaching at the upper secondary level in Switzerland for several years, I have shown that it is possible, by setting appropriate tasks called ‘mathematische Vorstellungsübungen’, to encourage students to use imaginings and their imagination for heuristic and thus epistemic purposes. My practice-based research showed that classroom work with imaginings can be underpinned by theories about mathematics education developed in German-speaking countries (Weber, 2007). In order to introduce this teaching instrument to an English readership, it is necessary to transpose ‘Vorstellungsübungen’ from the German to the English-language context while taking account of differences in the history of ideas and educational theory. Since Kant and Pestalozzi, the term ‘Vorstellungen’ has been widely used in the German-speaking world. However, no terms within the same semantic field exist in English. Conversely, English terms referring to thinking and imagining resist translation to German. For example, ‘representation’ has both a mental and a physical connotation and may be translated either as ‘Vorstellung’ (when referring to its mental aspect) or as ‘Darstellung’ (when referring to its external aspect), whereas the meanings of these terms in German are mutually exclusive. ‘Vorstellungsübungen’ could perhaps be described as ‘mental imagery tasks’ or ‘visualising tasks’. Both terms, however, are imprecise and potentially misleading. ‘Mental imagery’ calls to mind mental arithmetic and hence a skill to be trained, and evokes the imagery debate in cognitive psychology. ‘Visualising tasks’ likewise has pitfalls, as it emphasises visual modality and is used in the context of constructing graphic images. The term ‘exercises in mathematical imagining’ (or simply ‘imagining tasks’) seems more appropriate (as used by Conway, Doyle, Gilman, & Thurston, 2010, p. 14). This refers not only to the act of forming and manipulating imaginings, but also echoes the instruction “imagine!” that introduces every such task (for an illustrative example see Weber, 2014). My earlier work was based on an action research approach and investigated the design of imagining tasks and their impact in secondary schools (consisting of five classes with a total of 99 16to 20-year-old students who had seen 10 to 40 imagining tasks over a period of six months to two years). Following educational theories developed in German-speaking

Keine Diagnose ohne Auseinandersetzung mit Form, Inhalt und Hintergrund von Schülertexten

Diagnose (διαγνωσιζ, griech. „Erkennung, unterscheidende Beurteilung“) bezeichnet das Sammeln und Werten von Informationen über einen bestimmten Sachverhalt zur Gewinnung eines Gesamtbildes. In der neueren Mathematikdidaktik richtet sich Diagnose nicht mehr nur auf Leistungsstanderhebungen (Klassenarbeiten, sog. Produktdiagnostik) und auf Lernvoraussetzungen (Lernschwierigkeiten, sog. Statusdiagnostik). Wenn es darum geht, Schülerinnen und Schüler individuell zu fördern, müssen Lehrpersonen verstehen, wie ihre Schülerinnen und Schüler mathematische Probleme lösen. Deshalb ist der Aufbau entsprechender prozessdiagnostischer Fähigkeiten in der Lehrerausund -weiterbildung entscheidend.