Gabriele Wickel

Praktische und theoretische Geometrie in der frühen Neuzeit – Annäherung an ein schwieriges Verhältnis

Die Frage nach der Bedeutung der Mathematik fur gesellschaftliche und technische Prozesse ist ein zeitloses Phanomen. Bereits im 16. Jahrhundert bestimmt in England die Diskussion um die notwendigen mathematischen Kompetenzen in den wirtschaftlichen Innovations- und Entwicklungsbranchen den gesellschaftlichen Diskurs. Auf der einen Seite stehen dabei die traditionellen Bildungseinrichtungen, in denen Mathematik fur eine breitere Masse nur unzureichend vermittelt wird, auf der anderen Seite finden wir eine grose Fulle von Lehrbuchern und Handreichungen, privaten und offentlichen Bildungsangeboten und in gewissem Sinne eine mathematische Gemeinschaft von mathematical practitioners, die den besonderen Nutzen der Mathematik betont. Ein Kerngebiet dieser Zeit ist die praktische Geometrie, die als Grundlage vieler Disziplinen gilt. Dabei bewegt sich die mathematische Darstellung in den Lehrbuchern fur die mathematical practitioners zwischen theoretischer euklidischer Geometrie auf der einen und anwendungsbezogenen Aufgaben auf der anderen Seite. Anhand von Beispielen aus Aaron Rathbornes Lehrbuch The Surveyor (1616) wird der Aufsatz, bezogen auf die Landvermessung, das Spannungsfeld von theoretischer und praktischer Geometrie diskutieren. Ziel ist es, ein Schlaglicht auf die Entwicklung einer mathematischen Praxis zu werfen, die sich zwischen innermathematisch-theoretischen und gesellschaftlich-anwendungsbezogenen Anforderungen etabliert.

Ideen und Materialien zur Analytischen Geometrie und Linearen Algebra

Obwohl sich die Lineare Algebra historisch erst vergleichsweise spat als eigenstandiges mathematisches Gebiet ausgebildet hat, ist sie seit vielen Jahrzehnten neben der Analysis als unverzichtbarer Baustein der universitaren mathematischen Grundbildung etabliert. Die in der Linearen Algebra prasentierten Strukturen wie zum Beispiel Vektorraume, Gleichungssysteme, Matrizen und lineare Abbildungen spielen in praktisch allen Gebieten der Mathematik eine grundlegende Rolle und werden daher – im Sinne eines systematischen Aufbaus der Mathematik – zu Recht an erster Stelle behandelt. In den letzten Jahrzehnten wurde aus der ehemaligen „Analytischen Geometrie“ (vgl. z. B. Pickert 1976 oder Grotemeyer 1969) eine stark strukturorientierte „Lineare Algebra“ (vgl. z. B. Bourbaki 1989). Heute scheint das Pendel wieder zuruckzuschwingen (vgl. z. B. Artmann 1986); jedenfalls wird ublicherweise die Einfuhrung der Vektorraume geometrisch motiviert.

Das volle Studium im Blick – Empfehlungen

Mathematik Neu Denken wurde zunachst als Pilotprojekt fur das erste Studienjahr konzipiert. Damit wurde einerseits der im Fach Mathematik besonders schwierige Ubergang von der Schule zum Studium neu gestaltet. Andererseits konnte das Projektziel eines professionsorientierten Studiums, insbesondere eine explizite schulmathematische Orientierung, die Einbeziehung historischer und philosophischer Elemente zur Reflexion uber Mathematik, eine fruhe Integration der Fachdidaktik und die Schaffung konstruktiver Lernumgebungen in einem begrenzten Rahmen erprobt und evaluiert werden.

Methoden Neu Denken

Mathematik Neu Denken verfolgt das Ziel einer professionsorientierten Mathematiklehrerbildung. Dazu tragen nicht nur die kontinuierliche inhaltliche Orientierung am fur die Schulpraxis relevanten Wissen bei, sondern auch Neuorientierungen methodischer Art (vgl. allgemeine Hinweise zum Professionswissen und der Projektidee unter 2.2). Die Konzeption der Methoden im Rahmen des Projekts beruhen, wie unter 2.2.3 beschrieben, auf Grundsatzen der allgemeinen Lehr-Lern-Forschung. Bezogen auf den Mathematikunterricht fuhren diese Ergebnisse schon lange zur Forderung eines methodischen Umdenkens. So postulieren etwa Borneleit und Danckwerts unter anderem die Balance von Instruktion und Konstruktion als ein zentrales Merkmal guten Mathematikunterrichts (vgl. Borneleit u. a. 2001, S. 83). Die Relevanz der Sprache fur mathematische Lernprozesse in der Schule wird auf unterschiedlichen Ebenen diskutiert. Gallin und Ruf (2005) erarbeiten das Verhaltnis von Sprache und Mathematik anhand von Lern- und Reisetagebuchern und stehen fur das Konzept des „Dialogischen Lernens“ im Mathematikunterricht. Martin Winter (2002) stellt die zentrale Rolle der Kommunikation fur den Mathematikunterricht dar und betont die positiven emotionalen Auswirkungen und die Moglichkeit des Bruckenschlags zwischen Mathematik und Lebenswelt. Auch gilt das Sprechen uber Mathematik als Vehikel fur das Verstehen von Mathematik: „Die Sprache ist das bildende Organ des Gedanken.“ (Humboldt 1972, S. 426)

Ausgangslage und Ziele

Lehrerbildung im Fach Mathematik ist eine Thematik von betrachtlicher Komplexitat. Ein zentraler Punkt ist die Professionalisierung der angehenden Padagogen als Fachlehrerinnen und -lehrer der Mathematik. Mit dieser Blickrichtung skizzieren wir im Folgenden zentrale empirische Befunde und benennen Ziele fur eine Neuorientierung der universitaren Lehrerbildung.

Elementare Geometrie und Algebra

Elementarmathematik im Sinne von technisch voraussetzungsarmer Mathematik (vgl. dazu S. 13) bietet Lehramtsstudierenden die Moglichkeit, „echte“ Mathematik in Breite und Tiefe zu erfahren. Unter Breite wird hier nicht nur eine Themenvielfalt verstanden, sondern auch Beziehungsreichtum der mathematischen Gebiete und nicht zuletzt ihre Einbettung in ihren historischen Kontext. Die Erfahrung von Tiefe besteht in der Begegnung mit substanziellen mathematischen Begriffen, Ideen und Resultaten. Diese Begegnung kann durch elementarmathematische Theorien erfolgen, aber auch in charakteristischen Beispielen.

Analysis – Historische und philosophische Aspekte

Die Integration mathematikhistorischer und -philosophischer Aspekte in eine fachmathematische Einfuhrungsveranstaltung kann einerseits dazu dienen, die vielfach erst im Laufe von Jahrhunderten erarbeiteten mathematischen Konzepte zu motivieren und durch eine genetische Perspektive fur die Studierenden besser zuganglich zu machen. Andererseits ist ein Wissen um die kulturelle Pragekraft der Mathematik – in historischer wie in systematischer Dimension – ein unverzichtbares Bildungsziel eigenen Rechts fur kunftige Mathematikpadagogen. Dabei eignet sich das Themenfeld der Analysis wegen ihrer bereits seit der griechischen Antike bearbeiteten Grundprobleme und ihrer tiefliegenden, immer wieder auch philosophisch diskutierten Konzepte besonders gut fur dieses Anliegen. Sicherlich soll dabei eine Grundvorlesung zur Analysis nicht in einer „Geschichte der Analysis“ aufgehen. Stattdessen schlagen wir vor, der Vorlesung an passender Stelle mehr oder weniger ausfuhrliche Exkurse zur historischen Entwicklung der dargestellten Konzepte oder auch deren wissenschaftstheoretischer und philosophischer Dimension einzufugen. Durch passende Ubungsaufgaben konnen die Studierenden zudem angeregt werden, sich eingehender mit der Genese beziehungsweise mit einer uber den innermathematischen Bezug hinausweisenden Bedeutung der Konzepte zu beschaftigen. Dies wird im Folgenden anhand dreier ausfuhrlicher Beispiele fur mogliche Themenkomplexe und Exkurse, die Ausblicke auf den wissenschafts- und kulturhistorischen Kontext der Analysis eroffnen, illustriert.

Ideen und Materialien zu einer Schulanalysis vom höheren Standpunkt

Die Analysis ist der harte Kern der Oberstufenmathematik. Die von dort mitgebrachten mathematischen Erfahrungen sind in aller Regel kalkul- und verfahrensorientiert; ein Paradebeispiel hierfur ist die in der algorithmischen Routine erstarrte Kurvendiskussion. Ziel einer fruh ansetzenden Schulanalysis vom hoheren Standpunkt ist eine Standpunktverlagerung weg von der vertrauten Beherrschung von Kalkulen hin zu einer verstehensorientierten begrifflichen Durchdringung mit Mitteln, die prinzipiell am Ende der gymnasialen Oberstufe zur Verfugung stehen. So verschiebt sich zum Beispiel bei der Reflexion des Ableitungsbegriffs, einer der zentralen Begriffsbildungen der (elementaren) Analysis, der Akzent vom syntaktischen Ableitungskalkul („Wie wird abgeleitet?“) hin zur semantischen Seite des Begriffs („Was bedeutet die Ableitung?“). Hier geht es um die Analyse des inhaltlichen Aspektreichtums dieses Begriffs, etwa reprasentiert durch das Grundverstandnis als lokale Anderungsrate oder uber die lokale Linearisierung mit je eigenem spezifischen Nutzen. Auf diese Weise entwickelt sich ein umfassendes Begriffsverstandnis.

Erfolge der Projektidee

Bereits wahrend der Praxisphase von Mathematik Neu Denken bekundeten auch andere Hochschulstandorte Interesse an der Zielsetzung und Durchfuhrung des Projekts. Zahlreiche externe Anfragen richteten sich an die Projektbeteiligten, uber die Projektidee, die Konzeption und die Praxis zu berichten. Neben einzelnen Vortragen wurde die offentliche Wahrnehmung durch Projektprasentationen auf mehreren Tagungen der einschlagigen wissenschaftlichen Fachverbande und durch Presseberichte und Interviews gefordert. Dieses externe Interesse war mehrheitlich von der Erwartung getragen, dass Mathematik Neu Denken den vielfach festgestellten Problemen der universitaren Lehrerbildung wirksam begegnen kann und dazu Konzepte und Materialien entwickelt hat, die Projektziele erfolgreich umzusetzen und so zur Verbesserung der gymnasialen Mathematiklehrerbildung beizutragen.

Den Anfang anders machen! – Projekterfahrungen

Auf der Basis der oben dargestellten Befunde und Uberzeugungen begann das Projekt Mathematik Neu Denken im Wintersemester 2005/06 mit einer Pilotphase. An den Universitaten Giesen und Siegen kam es zu einer grundlegenden Neuorientierung des Studiums fur das gymnasiale Lehramt – bezogen auf die Studienorganisation ebenso wie auf die inhaltliche und methodische Gestaltung der Lehrveranstaltungen. Dabei setzte Mathematik Neu Denken dort an, wo der Grundstein fur Studienzufriedenheit und Identifikation mit der Wissenschaft Mathematik und dem Berufsziel bei angehenden Gymnasiallehrerinnen und -lehrern gelegt wird: zu Beginn des Studiums, im ersten Studienjahr.