Susanne Spies

Der Begriff mathematischer Schönheit in einer empirisch informierten Ästhetik der Mathematik

Dieses Zitat des britischen Mathematikers G. H. Hardy bringt pointiert die unter praktizierenden Mathematikern, aber auch unter Philosophen der Mathematik weithin akzeptierte Ansicht zum Ausdruck, dass mathematische Schonheit eine nicht zu vernachlassigende Rolle in der mathematischen Forschungspraxis spielt und sowohl interessante asthetiktheoretische, epistemische als auch ontologische Aspekte aufweist. Danach beeinflusst also das Verstandnis dessen, was mathematische Schonheit ist, auch das Verstandnis dessen, was Mathematik ist: „Was sind die Trager mathematischer Schonheit?“ ist die Frage nach der Art der Gegenstande, fur deren Schonheit Mathematiker sich begeistern und nach der sie streben. „Was sind die Kriterien fur mathematische Schonheit?“ ist die Frage nach den Kategorien, unter denen Mathematiker ihre Arbeit bewerten. Egal, ob sich das Phanomen mathematischer Schonheit als Ausnahmemerkmal oder als standiger Begleiter mathematischen Tuns erweist – ein adaquates allgemeines Mathematikverstandnis sollte dieses Phanomen berucksichtigen und bestenfalls auch erklaren konnen.

Making Domain-Specific Beliefs Explicit for Prospective Teachers

The implicit effects of using history of mathematics in teachers’ education on the individual beliefs of prospective mathematics teachers are widely discussed. However historical texts may also play an important role in making different mathematical worldviews and domain-specific beliefs explicit, as we discuss in this chapter. For this purpose, after sketching some connecting points between the history of mathematics on the one hand and individual beliefs of mathematics on the other and the short presentation of results of an empirical study on domain-specific beliefs of school calculus, we present an example from prospective teachers’ education at the University of Siegen: Within a course on subject matter didactics of calculus a historical source is used to initiate discussions on students’ beliefs.

Über die moderne Entwicklung und den Aufbau der Mathematik überhaupt

„In seinen reizvollen Vorlesungen uber Elementarmathematik vom hoheren Standpunkte aus hat Felix Klein Gegensatze verschiedener mathematischer Arbeitsrichtungen hervorgehoben, die als ‚verschiedene Entwicklungsreihen‘ des mathematischen Denkens zuletzt auch wieder auf Stile in der Entwicklungsgeschichte der Mathematik verweisen.“

Ideen und Materialien zur Analytischen Geometrie und Linearen Algebra

Obwohl sich die Lineare Algebra historisch erst vergleichsweise spat als eigenstandiges mathematisches Gebiet ausgebildet hat, ist sie seit vielen Jahrzehnten neben der Analysis als unverzichtbarer Baustein der universitaren mathematischen Grundbildung etabliert. Die in der Linearen Algebra prasentierten Strukturen wie zum Beispiel Vektorraume, Gleichungssysteme, Matrizen und lineare Abbildungen spielen in praktisch allen Gebieten der Mathematik eine grundlegende Rolle und werden daher – im Sinne eines systematischen Aufbaus der Mathematik – zu Recht an erster Stelle behandelt. In den letzten Jahrzehnten wurde aus der ehemaligen „Analytischen Geometrie“ (vgl. z. B. Pickert 1976 oder Grotemeyer 1969) eine stark strukturorientierte „Lineare Algebra“ (vgl. z. B. Bourbaki 1989). Heute scheint das Pendel wieder zuruckzuschwingen (vgl. z. B. Artmann 1986); jedenfalls wird ublicherweise die Einfuhrung der Vektorraume geometrisch motiviert.

Das volle Studium im Blick – Empfehlungen

Mathematik Neu Denken wurde zunachst als Pilotprojekt fur das erste Studienjahr konzipiert. Damit wurde einerseits der im Fach Mathematik besonders schwierige Ubergang von der Schule zum Studium neu gestaltet. Andererseits konnte das Projektziel eines professionsorientierten Studiums, insbesondere eine explizite schulmathematische Orientierung, die Einbeziehung historischer und philosophischer Elemente zur Reflexion uber Mathematik, eine fruhe Integration der Fachdidaktik und die Schaffung konstruktiver Lernumgebungen in einem begrenzten Rahmen erprobt und evaluiert werden.

Methoden Neu Denken

Mathematik Neu Denken verfolgt das Ziel einer professionsorientierten Mathematiklehrerbildung. Dazu tragen nicht nur die kontinuierliche inhaltliche Orientierung am fur die Schulpraxis relevanten Wissen bei, sondern auch Neuorientierungen methodischer Art (vgl. allgemeine Hinweise zum Professionswissen und der Projektidee unter 2.2). Die Konzeption der Methoden im Rahmen des Projekts beruhen, wie unter 2.2.3 beschrieben, auf Grundsatzen der allgemeinen Lehr-Lern-Forschung. Bezogen auf den Mathematikunterricht fuhren diese Ergebnisse schon lange zur Forderung eines methodischen Umdenkens. So postulieren etwa Borneleit und Danckwerts unter anderem die Balance von Instruktion und Konstruktion als ein zentrales Merkmal guten Mathematikunterrichts (vgl. Borneleit u. a. 2001, S. 83). Die Relevanz der Sprache fur mathematische Lernprozesse in der Schule wird auf unterschiedlichen Ebenen diskutiert. Gallin und Ruf (2005) erarbeiten das Verhaltnis von Sprache und Mathematik anhand von Lern- und Reisetagebuchern und stehen fur das Konzept des „Dialogischen Lernens“ im Mathematikunterricht. Martin Winter (2002) stellt die zentrale Rolle der Kommunikation fur den Mathematikunterricht dar und betont die positiven emotionalen Auswirkungen und die Moglichkeit des Bruckenschlags zwischen Mathematik und Lebenswelt. Auch gilt das Sprechen uber Mathematik als Vehikel fur das Verstehen von Mathematik: „Die Sprache ist das bildende Organ des Gedanken.“ (Humboldt 1972, S. 426)

Ausgangslage und Ziele

Lehrerbildung im Fach Mathematik ist eine Thematik von betrachtlicher Komplexitat. Ein zentraler Punkt ist die Professionalisierung der angehenden Padagogen als Fachlehrerinnen und -lehrer der Mathematik. Mit dieser Blickrichtung skizzieren wir im Folgenden zentrale empirische Befunde und benennen Ziele fur eine Neuorientierung der universitaren Lehrerbildung.

Elementare Geometrie und Algebra

Elementarmathematik im Sinne von technisch voraussetzungsarmer Mathematik (vgl. dazu S. 13) bietet Lehramtsstudierenden die Moglichkeit, „echte“ Mathematik in Breite und Tiefe zu erfahren. Unter Breite wird hier nicht nur eine Themenvielfalt verstanden, sondern auch Beziehungsreichtum der mathematischen Gebiete und nicht zuletzt ihre Einbettung in ihren historischen Kontext. Die Erfahrung von Tiefe besteht in der Begegnung mit substanziellen mathematischen Begriffen, Ideen und Resultaten. Diese Begegnung kann durch elementarmathematische Theorien erfolgen, aber auch in charakteristischen Beispielen.

Analysis – Historische und philosophische Aspekte

Die Integration mathematikhistorischer und -philosophischer Aspekte in eine fachmathematische Einfuhrungsveranstaltung kann einerseits dazu dienen, die vielfach erst im Laufe von Jahrhunderten erarbeiteten mathematischen Konzepte zu motivieren und durch eine genetische Perspektive fur die Studierenden besser zuganglich zu machen. Andererseits ist ein Wissen um die kulturelle Pragekraft der Mathematik – in historischer wie in systematischer Dimension – ein unverzichtbares Bildungsziel eigenen Rechts fur kunftige Mathematikpadagogen. Dabei eignet sich das Themenfeld der Analysis wegen ihrer bereits seit der griechischen Antike bearbeiteten Grundprobleme und ihrer tiefliegenden, immer wieder auch philosophisch diskutierten Konzepte besonders gut fur dieses Anliegen. Sicherlich soll dabei eine Grundvorlesung zur Analysis nicht in einer „Geschichte der Analysis“ aufgehen. Stattdessen schlagen wir vor, der Vorlesung an passender Stelle mehr oder weniger ausfuhrliche Exkurse zur historischen Entwicklung der dargestellten Konzepte oder auch deren wissenschaftstheoretischer und philosophischer Dimension einzufugen. Durch passende Ubungsaufgaben konnen die Studierenden zudem angeregt werden, sich eingehender mit der Genese beziehungsweise mit einer uber den innermathematischen Bezug hinausweisenden Bedeutung der Konzepte zu beschaftigen. Dies wird im Folgenden anhand dreier ausfuhrlicher Beispiele fur mogliche Themenkomplexe und Exkurse, die Ausblicke auf den wissenschafts- und kulturhistorischen Kontext der Analysis eroffnen, illustriert.

Ideen und Materialien zu einer Schulanalysis vom höheren Standpunkt

Die Analysis ist der harte Kern der Oberstufenmathematik. Die von dort mitgebrachten mathematischen Erfahrungen sind in aller Regel kalkul- und verfahrensorientiert; ein Paradebeispiel hierfur ist die in der algorithmischen Routine erstarrte Kurvendiskussion. Ziel einer fruh ansetzenden Schulanalysis vom hoheren Standpunkt ist eine Standpunktverlagerung weg von der vertrauten Beherrschung von Kalkulen hin zu einer verstehensorientierten begrifflichen Durchdringung mit Mitteln, die prinzipiell am Ende der gymnasialen Oberstufe zur Verfugung stehen. So verschiebt sich zum Beispiel bei der Reflexion des Ableitungsbegriffs, einer der zentralen Begriffsbildungen der (elementaren) Analysis, der Akzent vom syntaktischen Ableitungskalkul („Wie wird abgeleitet?“) hin zur semantischen Seite des Begriffs („Was bedeutet die Ableitung?“). Hier geht es um die Analyse des inhaltlichen Aspektreichtums dieses Begriffs, etwa reprasentiert durch das Grundverstandnis als lokale Anderungsrate oder uber die lokale Linearisierung mit je eigenem spezifischen Nutzen. Auf diese Weise entwickelt sich ein umfassendes Begriffsverstandnis.