Gregor Nickel

Operator splittings and spatial approximations for evolution equations

The convergence of various operator splitting procedures, such as the sequential, the Strang and the weighted splitting, is investigated in the presence of a spatial approximation. To this end the relevant notions and results of numerical analysis are presented, a variant of Chernoff’s product formula is proved and the general Trotter–Kato approximation theorem is used. The methods are applied to an abstract partial delay differential equation.

Operator Splitting with Spatial-temporal Discretization

Continuing earlier investigations, we analyze the convergence of operator splitting procedures combined with spatial discretization and rational approximations.

Mathematik – die (un)heimliche Macht des Unverstandenen

Was der Geheimrat noch ironisch als ein harmloses Phanomen scheiternder Salon-Konversation beschreiben konnte, hat sich zu einem universalen Phanomen der Moderne ausgeweitet. Mathematik redet uber (fast) alle wesentlichen gesellschaftlichen Belange mit, meistens jedoch auf eine vollig unverstandliche Weise, und irgendwie hat man das Gefuhl, dass die mathematische Beschreibung nicht mehr (genau) das trifft, was ursprunglich anlag. Die Situation ist gegenuber Goethes Salon noch insofern verscharft, als die Mathematik nicht mehr brav abwartet, bis sie auf das eine oder andere Thema angesprochen wird; vielmehr spricht sie selbst als erste und definiert die Agenda. Daruber hinaus kann ihr selbst der mathematikaffine Konversationspartner nicht einmal mehr in ihre Anfangsgrunde folgen.

Ethik und Mathematik. Randbemerkungen zu einem prekären Verhältnis

Zusammenfassung Im allgemeinen Vorverständnis sind Ethik und Mathematik nahezu disjunkt. Demgegenüber möchte dieser Aufsatz verdeutlichen, dass eine Verhältnisbestimmung der beiden ein eminentes Forschungsdesiderat ist, und zugleich versuchen, erste Schritte zu einer solchen zu unternehmen. Summary According to common sense ethics and mathematics are nearly disjoint. To the contrary, this paper fosters the view that it is highly desirable to develop a relation between these two perspectives and it tries to do first steps towards this goal.

Materialisierung, System, Spiegel – Anmerkungen aus philosophischer Perspektive

KATJA LENGNINK und RALF KROMER stellen in ihrem Beitrag die Grundfrage nach dem Zusammenspiel von Mathematik und Gesellschaft, und sie bieten ein beeindruckendes Spektrum von Konkretisierungen dieser Thematik – sowohl im theoretischen Rahmen mit der Sozialanthropologie ROLAND FISCHERs wie in einem weitgespannten historischen Bogen und schlieslich mit Bezug auf die schulische Praxis. Dem entsprechend ware es an vielen Stellen reizvoll, die Themen und Beispiele aufzugreifen; und naturgemas kann dies hier nur punktuell erfolgen65. Dazu sollen philosophische Positionen – passend zur historischen Ausrichtung des Referenzartikels aus Antike und Neuzeit – skizziert werden, die die angesprochenen Themen und Thesen teils kontrastieren, teils unterstreichen und erganzen. Als Leitmotiv soll dabei versucht werden, Aspekte der Mathematik herauszustellen, die ihre besondere gesellschaftliche Bedeutung nahelegen, aber auch problematisieren.

Zur Rolle von Philosophie und Geschichte der Mathematik für die universitäre Lehrerbildung

Ausgangspunkt meiner Uberlegungen ist die Uberzeugung, dass sich ein sinnvolles Studium fur das Mathematik-Lehramt auch in Bezug auf die fachlichen Inhalte deutlich vom reinen Fachstudium unterscheiden muss; es also nicht in einem um Fachdidaktik, zweites Studienfach (und ggf. Erziehungswissenschaften) angereicherten und um ein entsprechendes Quantum reduzierten Fachstudium aufgehen darf. Zu den essentiellen fachwissenschaftlichen Erganzungen zahlen m. E. eine wohlverstandene Elementarmathematik, die Orientierungs- und Reflexionsdisziplinen der Mathematik (Mathematikgeschichte und -philosophie) sowie eine Diskussion wissenschaftlicher und gesellschaftlicher Ausenbezuge (u. a. Anwendungen) der Mathematik. Dabei sind durchaus Querverbindungen und Uberschneidungen denkbar. Von diesen drei Bereichen wird im Folgenden der Stellenwert von Philosophie und Geschichte der Mathematik fur das Lehramtsstudium diskutiert, wobei sowohl normative Aspekte wie auch Aspekte einer Indienstnahme fur Fachinhalte und -didaktik angesprochen werden. Die Thematik wird auf der Basis von Erfahrungen aus den Siegener Lehramts-Studiengangen konkretisiert.

Vom Nutzen und Nachteil der Mathematikgeschichte für das Lehramtsstudium

Dass die Integration eines historisch-genetischen Zugangs zur Mathematik insgesamt forderlich fur das Lehramtsstudium sein kann, ist mittlerweile unstrittig, wenn auch die praktische Realisierung allzu haufig an mangelnden Ressourcen scheitert. Vor dem Hintergrund der Erfahrungen aus dem Siegener Lehramtsstudium sollen mogliche Funktionen einer solchen mathematikhistorischen Komponente diskutiert werden.

Ideen und Materialien zur Analytischen Geometrie und Linearen Algebra

Obwohl sich die Lineare Algebra historisch erst vergleichsweise spat als eigenstandiges mathematisches Gebiet ausgebildet hat, ist sie seit vielen Jahrzehnten neben der Analysis als unverzichtbarer Baustein der universitaren mathematischen Grundbildung etabliert. Die in der Linearen Algebra prasentierten Strukturen wie zum Beispiel Vektorraume, Gleichungssysteme, Matrizen und lineare Abbildungen spielen in praktisch allen Gebieten der Mathematik eine grundlegende Rolle und werden daher – im Sinne eines systematischen Aufbaus der Mathematik – zu Recht an erster Stelle behandelt. In den letzten Jahrzehnten wurde aus der ehemaligen „Analytischen Geometrie“ (vgl. z. B. Pickert 1976 oder Grotemeyer 1969) eine stark strukturorientierte „Lineare Algebra“ (vgl. z. B. Bourbaki 1989). Heute scheint das Pendel wieder zuruckzuschwingen (vgl. z. B. Artmann 1986); jedenfalls wird ublicherweise die Einfuhrung der Vektorraume geometrisch motiviert.

Das volle Studium im Blick – Empfehlungen

Mathematik Neu Denken wurde zunachst als Pilotprojekt fur das erste Studienjahr konzipiert. Damit wurde einerseits der im Fach Mathematik besonders schwierige Ubergang von der Schule zum Studium neu gestaltet. Andererseits konnte das Projektziel eines professionsorientierten Studiums, insbesondere eine explizite schulmathematische Orientierung, die Einbeziehung historischer und philosophischer Elemente zur Reflexion uber Mathematik, eine fruhe Integration der Fachdidaktik und die Schaffung konstruktiver Lernumgebungen in einem begrenzten Rahmen erprobt und evaluiert werden.

Methoden Neu Denken

Mathematik Neu Denken verfolgt das Ziel einer professionsorientierten Mathematiklehrerbildung. Dazu tragen nicht nur die kontinuierliche inhaltliche Orientierung am fur die Schulpraxis relevanten Wissen bei, sondern auch Neuorientierungen methodischer Art (vgl. allgemeine Hinweise zum Professionswissen und der Projektidee unter 2.2). Die Konzeption der Methoden im Rahmen des Projekts beruhen, wie unter 2.2.3 beschrieben, auf Grundsatzen der allgemeinen Lehr-Lern-Forschung. Bezogen auf den Mathematikunterricht fuhren diese Ergebnisse schon lange zur Forderung eines methodischen Umdenkens. So postulieren etwa Borneleit und Danckwerts unter anderem die Balance von Instruktion und Konstruktion als ein zentrales Merkmal guten Mathematikunterrichts (vgl. Borneleit u. a. 2001, S. 83). Die Relevanz der Sprache fur mathematische Lernprozesse in der Schule wird auf unterschiedlichen Ebenen diskutiert. Gallin und Ruf (2005) erarbeiten das Verhaltnis von Sprache und Mathematik anhand von Lern- und Reisetagebuchern und stehen fur das Konzept des „Dialogischen Lernens“ im Mathematikunterricht. Martin Winter (2002) stellt die zentrale Rolle der Kommunikation fur den Mathematikunterricht dar und betont die positiven emotionalen Auswirkungen und die Moglichkeit des Bruckenschlags zwischen Mathematik und Lebenswelt. Auch gilt das Sprechen uber Mathematik als Vehikel fur das Verstehen von Mathematik: „Die Sprache ist das bildende Organ des Gedanken.“ (Humboldt 1972, S. 426)