P. Ehrenfest

Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik

ZusammenfassungAus der Schrödingerschen Gleichung läßt sich durch eine kurze elementare Rechnung ohne Veruachlässigung die Beziehung

Energieschwankungen im Strahlungsfeld oder Kristallgitter bei Superposition quantisierter Eigenschwingungen

m\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}\smallint \smallint \smallint d\tau .\Psi \Psi * .x = \smallint \smallint \smallint d\tau .\Psi \Psi * \left( { - \frac{{\partial V}}{{\partial x}}} \right)

Zum Einsteinschen „Mischungsparadoxon“

ableiten, die für ein kleines und klein bleibendes Wellenpaket (m von der Ordnung 1 g) besagt, daß die Beschleunigung seiner Lagekoordinaten im Sinne der Newtonschen Bewegungsgleichungen zur örtlichen Kraft -∂V/∂x paßt.

Graphische Veranschaulichung der De Broglieschen Phasenwellen in der fünfdimensionalen Welt von O. Klein

Der vorliegende Artikel steht in enger Beziehung zu V 8: L. Boltzmann und J. Nabl (Kinetische Theorie der Materie): Beide Artikel beschaftigen sich mit der Anwendung der Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf das Studium der Bewegungen eines Molekulsystems. Wahrend sich aber V 8 vornehmlich den physikalischen Resultaten zuwendet, handelt es sich hier um die begrifflichen Grundlagen des Verfahrens.

Die wellenmechanische Interpretation der Boltzmannschen Statistik neben der der neueren Statistiken

ZusammenfassungEs wird gezeigt, daß und warum sich bei der Superposition quantisierter Eigen-schwingungen kleinere Schwankungen ergeben, als diejenigen, die Einstein fordert: Gleichung (II) und (III) verglichen mit (IV).

Temperature Equilibrium in a Static Gravitational Field

ZusammenfassungArgumente zugunsten der Hypothese, daß die abnormal hohe diamagnetische Suszeptibilität von Bi und Sb durch Elektronenbahnen geliefert wird, die — im Kristallgitter fest orientiert — mehr als ein Atom des Gitters umfassen.

Note on the Statistics of Nuclei

ZusammenfassungSowohl die Bose-Einsteinsche als die Fermi-Diracsche Statistik führt bei Anwendung auf ideale Gase zunächst zum Einsteinschen „Mischungsparadoxon“: für genügend tiefe Temperatur fällt der Druck oder die mittlere Energie vonN durchaus gleichen Molekülen diskontinuierlich anders aus als vonN beliebig wenig voneinander verschiedenen. — Wir zeigen, daß sich dieses Paradoxon vom Standpunkt der vieldimensionalen Wellenmechanik aus betrachtet durch folgende Bemerkungen löst: A. SindN voneinander zunächst durchaus verschiedene Moleküle (Massen MIMII ...MN) in ein Gefäß von allgemeiner Form eingeschlossen und entsprechen also wellenmechanisch den verschiedenen zulässigen Bewegungszuständen dieses Gases die verschiedenen Eigenschwingungen eines 3N-dimensionalen Hohlraumes, so hat man bei dem Aufbau des kanonischen Ensembles jede dieser Eigenschwingungen konsequent mit dem Gewicht 1 zu zählen. Fallen dann bei einer kontinuierlichen Veränderung, sei es der Gefäßform, sei es der Molekülmassen die Eigenwerte mehrerer Eigenschwingungen zusammen, so hat man im kanonischen Ensemble die entsprechenden Energieniveaus entsprechend vielfach zu zählen. Dabei kann offenbar nie die für das Mischungsparadoxon charakteristische diskontinuierliche Veränderung solcher Größen, wie mittlerer Energie oder Druck, auftreten. — B. Für wechselseitig durchdringliche Moleküle führt die 3N-dimensionale Wellenmechanik mit der unter A. angegebenen Zählweise zur Boltzmannschen Statistik, falls die Massen MIMII ...MN) durchaus oder gruppenweise gleiche Werte haben. — O. Für wechselseitig undurchdringliche Moleküle sind die 3N-dimensionalen Eigenschwingungen an die „Diagonalforderung“ gebunden. Für durchaus gleiche Moleküle gelangt man so 1) zur Heisenberg-Diracschen Erweiterung des Paulischen Verbotes und also zur Fermischen Statistik. Für durchaus oder gruppenweise verschiedene Molekülmassen läßt sich wegen rechnerischer Schwierigkeiten die Statistik nicht näher ausführen, das Nichtauftreten des Mischungsparadoxons ist aber bei der zugrunde gelegten Zählweise (siehe A.) bestätigt.

Adiabatische Invarianten und Quantentheorie

ZusammenfassungIm Fall der kraftfreien Bewegung wird die De Brogliesche Auffassung des Elektrons als Gruppe von Phasenwellen in der Kleinschen Theorie interpretiert und der Zusammenhang graphisch veranschaulicht.