Stefan Ufer

Assessing Modelling Competencies Using a Multidimensional IRT Approach

We assessed students’ modelling competency using a test consisting of different classes of items. Within the first class there are items which cover the whole modelling process, whereas items of the second class focus only on certain parts of this process. To cope with the requirements of the two different classes of items we used a multidimensional Rasch model including subdimensions. In this chapter we describe the structure of the test instrument and compare the subdimensional scaling of the test results with a unidimensional one. The analyses show the superiority of the subdimensional scaling.

Assessment in Mathematics Education: Large-Scale Assessment and Classroom Assessment

This volume draws on research to discuss these topics and highlights some of the differences in terms of challenges, issues, constraints, and affordances that accompany large-scale and classroom assessment in mathematics education as well as some of the commonalities.

Der Übergang von der Schule zur Universität: Theoretische Fundierung und praktische Umsetzung einer Unterstützungsmaßnahme am Beginn des Mathematikstudiums

Hohe Studienabbruchzahlen zu Beginn des Mathematikstudiums (Heublein et al. 2005) und niedrige Erfolgsquoten in den Grundlagenvorlesungen der Mathematik fordern Handlungsbedarf seitens der Universitaten, das Lernen an der Schnittstelle Schule – Hochschule effektiver zu gestalten. Mogliche fachbedingte Ursachen fur Schwierigkeiten in der Studieneingangsphase konnen unter anderem auf die Spezifika der wissenschaftlichen Disziplin Mathematik zuruckgefuhrt werden. Charakteristisch fur die Hochschulmathematik ist ein formal axiomatischer Aufbau sowie ein erhohter Abstraktions- und Formalisierungsgrad (Freudenthal 1971; Vinner 1991). Auserdem andert sich die Lernkultur an der Universitat: In ublichen Mathematikvorlesungen wird die mathematische Theorie uberwiegend als fertiges Produkt prasentiert. Der Prozesscharakter mathematischer Erkenntnisgewinnung (Freudenthal 1973; Dreyfus 1991) muss von den Studierenden selbst erkannt und erganzt werden, sodass die Anforderungen an selbstreguliertes Lernen steigen. Basierend auf Unterschieden zwischen der schulischen und akademischen Mathematik und den daraus resultierenden Schwierigkeiten werden Zielbereiche fur Unterstutzungsmasnahmen in der Studieneingangsphase formuliert. Brucken- oder Vorkurse konnen Schwerpunkte setzen, indem sie z. B. Studierende in die mathematische Arbeitsweise einfuhren, Lernstrategien, Methodenwissen und spezifische Fertigkeiten vermitteln oder organisatorische Aspekte des Studiums aufgreifen. Einige dieser Zielbereiche konnten bereits erfolgreich in Vorkursen umgesetzt werden. Fur diese Unterstutzungsmasnahmen stehen jedoch meist begrenzte Ressourcen zur Verfugung. Wie auf dieser Basis eine begrundete Auswahl getroffen werden kann und dabei zentrale Zielbereiche orchestriert werden konnen, wird am Beispiel eines Bruckenkurskonzepts aus Munchen exemplarisch aufgezeigt. Erste Ergebnisse einer Evaluation mit Schwerpunkt auf der Wahrnehmung der Studierenden bezuglich der unterschiedlichen Zielbereiche werden berichtet.

Transmissive and Constructivist Beliefs of in-Service Mathematics Teachers and of Beginning University Students

In recent years, the professional competence of teachers has become more and more important as a field of educational research. Teachers create learning opportunities and have a crucial influence on subject related and interdisciplinary achievement of students’ educational goals (cf. Baumert & Kunter, 2013a; Reusser, Pauli, & Elmer, 2011).

Beweisen und Begründen im Mathematikunterricht

ZusammenfassungArgumentationen begegnen Schülerinnen und Schülern im Rahmen vieler wissenschaftlicher Disziplinen. Die Mathematik mit ihren spezifischen Regeln stellt sie allerdings vor große Probleme. Internationale und nationale Studien zeigen, dass viele Lernende bis zum Ende ihrer Schulzeit kaum in der Lage sind, selbständig mathematische Beweise zu formulieren. Eine mögliche Erklärung dafür ist, dass die spezifischen Regeln für akzeptable Argumentationen in der Mathematik für die meisten Schülerinnen und Schüler nicht transparent sind. Nach einer konzeptuellen Fassung dieses Methodenwissens stellen wir eine Reanalyse zweier quantitativer empirischer Studien mit speziellem Fokus auf diesem Wissen und dem Zusammenhang mit geometriebezogener Beweis- und Argumentationskompetenz vor.AbstractStudents encounter argumentations in the setting of several scientific disciplines. Mathematics with its specific rules poses demanding problems for learners. International and national studies show that even at the end of their school education, many learners are hardly able to formulate mathematical proofs on their own. A possible explanation for these nonsatisfying learning outcomes is that the specific rules for acceptable argumentations within mathematics are not transparent for most students. Based on a conceptual analysis of this methodological knowledge, we present a reanalysis of two quantitative empirical studies with special focus on this domain of knowledge and its connection to geometrical proof competency.

Argumentieren und Beweisen

Unter einem mathematischen Beweis versteht man die deduktive Herleitung eines mathematischen Satzes aus Axiomen und zuvor bereits bewiesenen Satzen nach spezifizierten Schlussregeln. Axiome sind unbewiesene Aussagen, die man an den Anfang einer Theorie stellt. Modellhaft ist dieser axiomatisch-deduktive Aufbau einer mathematischen Theorie erstmals durch den griechischen Mathematiker Euklid in seinem Buch „Elemente“ (ca. 300 v. C.) realisiert worden.

Unterrichtsmethoden und Instruktionsstrategien

Die im vorherigen Kapitel beschriebenen Prinzipien fokussieren im Wesentlichen die Art und Weise, in der im Mathematikunterricht zu erlernende Inhalte und Kompetenzen ausgewahlt, angeordnet, aufbereitet, dargestellt und bearbeitet werden. Diese vornehmlich fachlich-inhaltlichen Gestaltungsmerkmale von Unterricht sind in ein Wechselspiel weiterer, allgemeiner Gestaltungsmerkmale eingebettet. In beiden Fallen steht im Vordergrund, Merkmale qualitativ hochwertigen Mathematikunterrichts zu identifizieren. Dieser sogenannte „gute Unterricht“ definiert sich dabei zunachst durch seine Ergebnisse, also seine Auswirkungen auf die individuelle Entwicklung der Schulerinnen und Schuler. Hierbei stehen nicht allein kognitive Variablen wie Wissen oder Fertigkeiten im Fokus, sondern auch affektiv-motivationale Faktoren wie Einstellungen zum Lernen, das individuelle Selbstkonzept oder Formen der Lernmotivation. Weiterhin darf sich Unterricht nicht alleine an allgemeinen Tendenzen messen lassen, dass also beispielsweise die mittlere Motivation in einer Schulklasse steigt. Zentral ist daruber hinaus, dass alle Lernenden entsprechend ihrem Potenzial moglichst optimal gefordert werden. Um sich diesem Ziel anzunahern, hat die Lehrkraft bei der Vorbereitung und Durchfuhrung von Unterricht eine ganze Reihe von Gestaltungsentscheidungen zu treffen, beispielsweise die Wahl der Aufgaben (vgl. Kap. 17), der Medien (vgl. Kap. 18), der Sozial- und Arbeitsformen, der Anordnung der Aufgaben etc. In diesem Beitrag werden mit Unterrichtsmethoden, Instruktionsstrategien und Aspekten der Aufgabenauswahl und -implementation wesentliche Entscheidungsdimensionen naher in den Blick genommen.

Do First Graders Make Efficient Use of External Number Representations? The Case of the Twenty-Frame.

External number representations are commonly used throughout the first years of instruction. The twenty-frame is a grid that contains two rows of 10 dots each, and within each row, dots are organized in two groups of five. The assumption is that children can make use of these structures for enumerating the dots, rather than relying on one-by-one counting. We compared first-grade childrens performance on two types of computerized enumeration tasks, in which between one and 20 dots were presented in random arrangements or on a twenty-frame. The number of dots was a strong predictor of response times and accuracy rates in the enumeration task with random arrangements but not in the twenty-frame task. Performance on the twenty-frame task was correlated with performance on a number and arithmetic test, even when other cognitive variables were statistically controlled. We discuss these findings in the light of theories on utilizing external representations to support numerical learning.

How to combine collaboration scripts and heuristic worked examples to foster mathematical argumentation – when working memory matters

Mathematical argumentation skills (MAS) are considered an important outcome of mathematics learning, particularly in secondary and tertiary education. As MAS are complex, an effective way of supporting their acquisition may require combining different scaffolds. However, how to combine different scaffolds is a delicate issue, as providing learners with more than one scaffold may be overwhelming, especially when these scaffolds are presented at the same time in the learning process and when learners’ individual learning prerequisites are suboptimal. The present study therefore investigated the effects of the presentation sequence of introducing two scaffolds (collaboration script first vs. heuristic worked examples first) and the fading of the primarily presented scaffold (fading vs. no fading) on the acquisition of dialogic and dialectic MAS of participants of a preparatory mathematics course at university. In addition, we explored how prior knowledge and working memory capacity moderated the effects. Overall, 108 university freshmen worked in dyads on mathematical proof tasks in four treatment sessions. Results showed no effects of the presentation sequence of the collaboration script and heuristic worked examples on dialogic and dialectic MAS. Yet, fading of the initially introduced scaffold had a positive main effect on dialogic MAS. Concerning dialectic MAS, fading the collaboration script when it was presented first was most effective for learners with low working memory capacity. The collaboration script might be appropriate to initially support dialectic MAS, but might be overwhelming for learners with lower working memory capacity when combined with heuristic worked examples later on.

Forschungsgegenstände und Forschungsziele

Fachdidaktische Forschung ist ein Teil der Bildungsforschung, die den Blick auf Lehr-Lern-Prozesse richtet. Wesentlich bestimmt ist sie durch das jeweils zugrundeliegende Fach bzw. die Domane. Mathematikdidaktische Forschung orientiert sich demensprechend an Fragestellungen, in denen das Fach Mathematik eine Rolle spielt. So gehort es zu den Zielen der mathematikdidaktischen Forschung fachliche Anforderungen und Inhalte der Mathematik so auszuwahlen und aufzubereiten, dass sie angemessen und relevant sind. Dabei ist die Orientierung an den Bedurfnissen und Fahigkeiten der Lernenden ein zentraler Faktor. Entsprechend sind die Untersuchung der Entwicklung und Struktur ihrer Kompetenzen, die Entstehung von Fehlvorstellungen sowie der Aufbau von Begriffen und mathematischem Verstandnis wichtige Forschungsgebiete. Aber auch Aspekte des Lehrens werden in der mathematikdidaktischen Forschung adressiert. So steht aktuell die Konzeptualisierung der professionellen Kompetenzen von Lehrkraften im Fokus der Forschung. Weiterhin bestimmt die Art der Gestaltung des Unterrichts bzw. allgemeiner gesprochen der Lehr-Lern-Umgebungen einen wichtigen Teil der empirischen fachdidaktischen Forschung bzw. des Design-Based Research. Auf Grundlage dieser Forschung kann nicht nur der Mathematikunterricht weiterentwickelt werden, sondern Mathematiklernen auf einer breiteren Basis gesehen werden. So ist es eine mogliche Perspektive fur die mathematikdidaktische Forschung, die tertiare Bildung starker in den Blick zu nehmen. Daruber hinaus ist eine bessere Integration der Ergebnisse verschiedener Forschungstraditionen sowohl mit nationaler als auch mit internationaler Ausrichtung wunschenswert.