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线性时不变系统的奥秘：如何解开这些微分方程的难题？
自1970年代末期以来，J. C. Willems 开创的行为主义方法为系统理论和控制理论带来了一种崭新的视角。该方法旨在解决经典方法中的一些不一致之处，尤其是在状态空间、传递函数和卷积表示方面的问题。
行为主义方法的核心在于“行为”——即与系统相容的所有信号的集合。
这一方法不将输入和输出变数划分为优先级，因此为系统分析和控制提供了一个更为一般的框架，同时尊重其底层物理原则。行为主义方法不仅将系统理论和控制建立在更为严谨的基础之上，还统一了现有方法论并带来了对于nD系统可控性、通过互连进行控制以及系统识别的新结果。
动态系统作为信号的集合
在行为主义的框架下，动态系统可被定义为一个三元组，其组成包括时间集合、信号空间和行为的集合。这种表示揭示了在系统演变过程中的时间对应性，以及不同信号的兼容性。
在进行建模之前，信号空间中的每一个信号都被视为可能的，而经过建模之后，只有那些在行为集合中的信号才被视为可能。
对于不同类型的系统，我们可以将时间集合区分为连续系统和离散系统，而信号空间则针对大多数物理系统进行建构。系统的特性往往通过其行为来定义，理解这一点在分析过程中显得尤为重要。
线性时不变微分系统
当线性时不变系统的行为被设置为一组常数系数的线性常微分方程的解集时，这些系统便被认为是“线性”的。系统的线性性表现在可叠加性原则上，而时不变性则体现在合规轨迹的时间移动仍然是合规的。
一个“线性时不变微分系统”所对应的行为是由一组具有实系数的矩阵的常微分方程决定的。
这种系统的特定表示法被称为“核表示法”，其所提供的行为可以通过其他有效的表示方法来获得，包括传递函数、状态空间以及卷积表示。这些方法各有其独特的优势与应用场景。
潜变量的可观测性
行为主义方法的一个核心问题是：在给定观察量和模型的情况下，是否能推断出一个量。如果可以推断出，则该观察量被称为可观测的。这在数学建模中，潜变量和显变量的区分尤为重要。潜变量指的是需要推断的量，而显变量则是可以观察到的量。
当一个系统能够从显变量推断潜变量时，这个系统便被称为可观测系统。
在实际应用中，这一框架提供了关键的理论工具，使得控制系统的设计与分析变得更加高效和精准。
结语
在这些复杂的数学背景下，行为主义方法无疑为系统理论提供了一个全新的视角。然而，面对这些微分方程的深奥与难解，我们是否能够找到更为直观与方便的解决方案呢？
