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行為如何定義系統：你的信號是否合規？
在1970年代末，J. C. Willems 提出了行為方法的系統理論和控制理論，這一方法是為了解決經典方法中存在的不一致性。這些經典方法依賴於狀態空間、傳遞函數和卷積表示等概念。而Willems的行為方法旨在建立一個尊重基礎物理的系統分析和控制的通用框架。這一方法的主要對象是行為，即系統兼容的所有信號的集合。
在行為設定中，系統的主要組成部分是行為——與系統法律相容的信號的集合。
行為方法的一個重要特徵是，它對輸入和輸出變量不設置優先順序。這也意味著我們在分析系統的信號時，無論是哪些信號都是系統行為的重要部分。這一方法不僅為系統理論和控制提供了嚴謹的基礎，還統一了現有的方法，並引入了針對 nD 系統的可控性、新的控制結果以及系統識別的新框架。
動態系統作為信號集合
在行為的方法中，動態系統可表示為一個三元組 Σ = (T, W, B)，其中：
T表示時間集，這是系統演變的時間實例集合。W是信號空間，這是系統變量值的取值範圍。B是行為，即與系統法律相容的信號集合。
這種模型的關鍵在於，當然信號在建立之前都可能被視為合法的，但在建模之後，只有那些在集合 B 內的信號才能作為合法的系統行為。
若
w ∈ B，則w是系統的一個軌跡；如果w ∉ B，則系統法律禁止該軌跡的存在。
線性時間不變微分系統
系統的特性在於其行為。系統 Σ = (T, W, B) 被稱為“線性”，如果 W 是向量空間且 B 是 W^T 的線性子空間；被稱為“時間不變”，如果時間集由實數或自然數組成，且對於所有 t ∈ T，σ^tB ⊆ B，這裡 σ^t 表示 t 的位移。
“線性時間不變微分系統”是一種動態系統 Σ = (R, R^q, B)，其行為 B 是一組常數係數線性常微分方程的解集。
行為的定義為
B={w ∈ C∞(R, R^q) | R( d/dt )w(t) = 0, ∀ t ∈ R}。
這種類型的表示被稱為對應動態系統的“核表示”。有很多其他有用的表達方式，例如傳遞函數、狀態空間和卷積等。
潛在變量的可觀察性
行為方法中的一個關鍵問題是，是否可以基於已觀察到的變量 w2 和一個模型推導出另一個量 w1。如果能夠推導出 w1，則 w2 被稱為可觀察的。在數學建模中，潛在變量通常被稱為待推導的變量，而觀察變量則被稱為顯示變量。
這樣的系統被稱為可觀察（潛在變量）系統。
行為方法的提出為系統理論的深入分析提供了新的切入點，這不僅是理論上的探索，實際應用中如何搭建這些系統也是未來研究的重要課題。隨著技術的發展，我們能否建立更強大的模型，讓這些行為不僅是理論，還能在各種領域中實現應用呢？
