Walter Benz

A contribution to a theorem of Ulam and Mazur.

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Isometrien in normierten Räumen

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A characterization of plane Lorentz transformations

Denote (xi,yi=cti), i=1,2, by Xi and (x2−x1)2−(y2−y1)2 by F(X1,X2). Then our result is the following: Given a fixed real number ρ ≠ 0 and given a bijection σ of M=IR2 such that F(X1,X2) = ρ iff F(Xin1suσ,in2suσ) =p for all X1, X2 ε M. Then σ must be a Lorentz transformation (time reversal and inhomogeneity included).

Zur Charakterisierung der Lorentz-Transformationen

A bijection of the n-dimensional space-time that leaves invariant one pseudo-euclidean distance ρ>0 is an (inhomogeneous) Lorentz transformation. Beside this result a new proof of a theorem of BPORCHERS and HPEGERFELDT concerning case ρ=0 is given.

Cross Ratios and a Unifying Treatment of Von Staudt’s Notion of Reeller Zug

On the basis of a complex projective geometry K.G.Chr. von Staudt defined the notion of reeller Zug or what was called later on von Staudt’sche Kette. Those chains can be represented for instance in the completed complex plane as circles or lines extended by the point at infinity.

A Beckman-Quarles type theorem for finite desarguesian planes

The characterization theorem given in [2] for Lorentz transformations of the ℝ2 is carried over to the case of finite planes.

On Barbilian domains over commutative rings

W. LEISSNER proved in [2] that an arbitrarily given affine BARBILIAN PLANE must be isomorphic to a plane affine geometry over a Z-ring R and moreover did he establish the converse theorem among other results in [3]. One of the fundamental notions in this axiomatic approach of ring geometry is that of a BARBILIAN DOMAIN (BARBILIANBEREICH). The aim of our note is to present sufficient conditions in case of commutative rings R which guarantee that R admits exactly one BARBILIAN DOMAIN. If for instance R is an euclidean ring, then R admits exactly one BARBILIAN DOMAIN (P.M.COHN [1], corollary to Theorem 3 of our note).The author is indebted to Professor LEISSNER for several helpful discussions during the preparation of this note.

Lie Sphere Geometry in Hubert Spaces

We develop Lie sphere geometry for arbitrary real pre-Hilbert spaces of (finite or infinite) dimension at least 2. One of the main results is that a bijection of the set of all Laguerre cycles which preserves contact in one direction must already be a Lie transformation (THEOREM 2). As a first consequence of this theorem we get that a bijection of an arbitrary real pre-Hilbert space of dimension at least 3 which preserves Lorentz-Minkowski distance 0 in one direction must already be a (proper or improper) Lorentz boost up to a dilatation, a translation and an orthogonal mapping (THEOREM 3). This is a generalization of results of A.D. Alexandroff [1], E.M. Schröder [21] and F. Cacciafesta [7]. Another consequence is that a bijection of the set of all Lie cycles which preserves contact in one direction must already be a Lie transformation (THEOREM 4). If we apply this result to the finite dimensional case, we get that the diffeomorphism assumption in the Fundamental Theorem of Lie sphere geometry as stated in Theorem 1.5 in T.E. Cecil [8], p. 33, is not needed for the proof of this theorem (REMARK to THEOREM 4).

Lorentz–Minkowski Distances in Hilbert Spaces

For arbitrary pre-Hilbert spaces X of dimension at least 2, we define the notion of Lorentz–Minkowski distance. We determine all Lorentz transformations, i.e. all distance preserving mappings of X into itself, introduce relativistic addition, and characterize the 2-point-invariants of the group of bijective Lorentz tranformations and, especially, the distance in question.

On Structures T(t, q, r, n)

Publisher Summary This chapter defines Walter Benzs notion of a structure T ( t, q, r, n ). 3-nets for instance, affine planes and Laguerre planes, Minkowski planes, optimal geometries among other structures are examples of geometries T ( t, q, r, n ) as far as they are finite. The chapter also presents some structures that are based on chain geometries. W. Heise and H. Karzel introduced the so-called Laguerre– and Minowski– m structures and R. Permutti defined the Mobius– m –structures. The T (2+ m , q, q+m , 1) are exactly the Laguerre– m –structures and that the T ( m + 2, q, q, 2) are precisely the Minkowski– m –structures. The chapter presents classes of examples that are partly m– structures.