Reinhard Oldenburg

Einsatzmöglichkeiten und Grenzen von Computeralgebrasystemen zur Förderung der Konzeptentwicklung

Im Rahmen einer neu geschaffenen Lehrveranstaltung „Entstehungsprozesse von Mathematik“ fur das gymnasiale Lehramt sollen unter anderem die genetische Entwicklung von Begriffen genauer beleuchtet und Bezuge zwischen Schul- und Hochschulmathematik sichtbar gemacht werden.

Die Mathematik der Bildverarbeitung

Mit dem Boom der digitalen Fotografie wurde auch die digitale Bildbearbeitung mit Programmen wie Photoshop, Gimp, Paintshop u. a. eine Massenaktivitat. Smartphones haben die Flut der Bilder weiter vergrosert und Plattformen wie Instagram bieten Bildverarbeitungseffekt gewissermasen kostenlos an. Mit der Mathematik hinter den digitalen Bildern versteht man also einen Teil unserer technisierten Welt, und mit ein paar Programmzeilen kann man auch Dinge ausprobieren, die in den fertigen Programmen unmoglich sind. In diesem Sinne werden in diesem Aufsatz die mathematischen Grundlagen der Bildbearbeitung dargestellt und gezeigt, wie sie zur Grundlage eigener Handlungen werden konnen.

Fußballergebnisse vorhersagen – mit Mathematik prognostizieren

Dieser Beitrag zeigt zwei unterschiedliche Moglichkeiten auf, auf Basis von alten Fusballergebnissen, Prognosen fur neue Spiele abzugeben. Dabei unterscheidet sich sowohl die verwendete Mathematik (Wahrscheinlichkeitsrechnung vs. Optimierung) als auch die Sicht auf die Spiele selbst. Die Vielfalt des Modellierens wird damit offensichtlich.

Transparent Rule Based CAS to Support Formalization of Knowledge

The complexity of computer algebra systems hinders many students to develop an adequate mental model of such a system. As a result, they are often suspicious about the results and the didactical benefit is limited. The paper suggests that it is possible to design a transparent version of a computer algebra system that gives students a transparent access to the inner working of such a system. Didactical uses of such a system are discussed.

Ziele der Analysis, Aspekte und Grundvorstellungen

Mithilfe definierter Ziele des Analysisunterrichts kann auf die Frage, warum Analysis an allgemeinbildenden Schulen unterrichtet wird, Antwort gegeben werden. Dabei sind diese Antworten jedoch keine einmal zu findenden und dann unumstoslich geltenden Erkenntnisse, sondern werden in einem Diskussionsprozess unterschiedlicher gesellschaftlicher Gruppen ausgebildet und mussen in einer sich standig verandernden Welt im Hinblick auf ihre Aktualitat stets neu diskutiert und uberpruft werden (vgl. etwa Heymann 1996). Aufgabe der Fachdidaktik ist es, insbesondere Argumente zur Legitimation der Inhalte und Methoden des Analysisunterrichts zu benennen.

Folgen und Grenzwerte

Dieses Kapitel geht zunachst – im Rahmen eines kurzen historischen Abrisses – auf die Wechselbeziehungen zwischen Folgen-, Grenzwert- und Unendlichkeitsbegriff in der Entwicklungsgeschichte der Mathematik ein. Dies geschieht vor allem deshalb, da sich Probleme und Schwierigkeiten in der historischen Entwicklung in ahnlicher Weise auch immer wieder bei Lernenden zeigen und die Hoffnung besteht, dass Losungsansatze in der Geschichte der Mathematik Hinweise auf Strategien beim Lernen und Lehren im heutigenMathematikunterricht geben konnen. Dann wird auf die Bedeutung des Folgenbegriffs in der Sekundarstufe I eingegangen. Das Herausarbeiten der verschiedenen Aspekte dieses Begriffs sowie die damit einhergehenden Grundvorstellungen sind zentral fur das Verstandnis des Grenzwertbegriffs, vor allem auch im Rahmen aktueller sog. intuitiver oder propadeutischer Zugange. Schlieslich wird die aktuelle Sichtweise des Folgen- und Grenzwertbegriffs in den derzeitigen KMK-Bildungsstandards kritisch hinterfragt. Dazu wird auf die Entwicklung eingegangen, die zu der heutigen Situation im Hinblick auf die Behandlung der grundlegenden Begriffe der Analysis im Mathematikunterricht gefuhrt hat, und es werden Perspektiven fur einen zukunftigen, vor allem auch rechnerunterstutzten Analysisunterricht entwickelt.

Können Studierende alternative Begriffsdefinitionen mit Computeralgebra als Werkzeug untersuchen

Es ist ein allgemein anerkanntes Ziel, dass Schülerinnen und Schüler die Mathematik möglichst aktiv erlernen sollen und diese dabei nach Möglichkeit selbst konstruieren. Damit künftige Lehrkräfte einen solchen Unterricht gestalten können, erscheint es notwendig, dass sie selbst ein Mathematikbild gewinnen, das nicht durch die Präsentation fertiger Mathematik dominiert wird, sondern auch deren Entstehungsprozesse umfasst. Um dies zu unterstützen, führt die Universität Frankfurt mit den „Entstehungsprozessen von Mathematik“ eine neue Lehrveranstaltung ein, die maßgeblich der genetischen Idee des Lernens verpflichtet ist (Toeplitz 1949, Beutelspacher, Danckwerts et al. 2011). Im Rahmen der Konzeptionsarbeit zu dieser Veranstaltung wurde in der Vorlesung „PC-Einsatz im Mathematikunterricht“ die hier berichtete Vorstudie gemacht. Mathematische Frage ist die Klärung verschiedener Fassungen von Begriffen. Für den Integralbegriff wird diese Frage beispielsweise auch im „Analysis Arbeitsbuch“ (Bauer 2012) diskutiert. Während fachwissenschaftliche Darstellungen der Analysis häufig nur eine Definition eines Begriffs geben, hat es in der Didaktik auch Tradition, mehrere äquivalente und auch nicht-äquivalente Definitionen zu betrachten (siehe z.B. Blum und Törner 1983). Allerdings ist die Untersuchung von Begriffsdefinitionen oft technisch anspruchsvoll, so dass die Idee entstanden ist, Computeralgebra für diesen Zweck zu nutzen.